Главная Промышленная автоматика.

, тх

Следовательно, на оси Ог всегда существует одна и только одна точка, для которой эта прямая является главной осью инерции.

Установив это, переходим к нашей задаче. Для того чтобы удар приложенный к пластинке, не отзывался на оси, необходимо, чтобы этот удар был перпендикулярен к плоскости пластинки и пересекал ось Ох в точке А, на расстоянии

т. е. на расстоянии

ОА, = лг = тх

от оси. Точка А, есть центр удара пластинки относительно оси Ог.

сказать, что если ось Ог принята за ось подвеса твердого тела, то удар должен быть перпендикулярен к плоскости ООг и приложен к проекции А, на ось качания точки О,, для которой ось Ог является главной, причем ось качания соответствует оси подвеса Ог (п. 362).

Найденная таким образом точка А, называется центром удара для оси Ог.

Случай пластинки. Рассмотрим случай тела весьма малой толщины, т. е. случай бесконечно тонкой пластинки, вращающейся вокруг некоторой оси Ог, лежащей в плоскости пластинки. Какова бы ни была эта ось, всегда можно определить удар, перпендикулярный к плоскости пластинки, таким образом, чтобы ось вращения не испытывала удара. Это вытекает из того, что ось Ог всегда является главной осью для одной из своих точек. В самом деле, приняв плоскость пластинки за плоскость хг, перенесем оси Охуг в некоторую точку О, оси Ог (00, = 2,) и обозначим новые оси через Охуг. Для того, чтобы ось Ог была главной осью для точки О,, необходимо, чтобы (рис. 271)

2 туг - О, 2 тхг - 0.

Первое из этих условий всегда выполняется, так как для всех точек тела У - О. Что касается второго условия, то на основании очевидной формулы преобразования

г -г-{-г, оно может быть написано в виде

2«л; (г - 2,) = О, "тхг-гхтх = 0,

откуда

2 п1хг



На основании предыдущего каждой прямой на плоскости соответствует центр удара. Если положить т = тх, то координаты точки А, будут

2, =•

т. е. центр удара пластинки относительно оси Ог, лежащей в ее плоскости, совпадает с положением, которое занимал бы центр тяжести, если бы масса каждой частицы была умножена на расстояние х от нее до оси. Например, для прямоугольной однородной двери щирины I центр удара находится на середине 2 ,

высоты на расстоянии-д-/ от оси.

513. Баллистический маятник.

Этот аппарат предназначен для измерения скорости снарядов. Он состоит из литой трубки, заполненной землей и подвешенной при помощи жестких стержней к горизонтальной оси, вокруг которой она может вращаться (рис. 272). Пущенный горизонтально снаряд проникает в заполняющую трубку землю и застревает в точке, относительно которой мы предположим, что она находится К в плоскости, проходящей через ось-и центр тяжести. Вследствие полученного удара образованный таким образом » физический маятник отклонится на некоторый угол от вертикали. Максимальный угол отклонения 6 замеряют. Этот угол, как мы сейчас увидим, позволяет определить скорость снаряда. Обозначим через т массу снаряда, через v-его скорость и через а-расстояние от линии, по которой направлена эта скорость, до оси подвеса. Пусть, кроме того, Mk-момент инерции баллистического маятника относительно оси я I - расстояние от центра тяжести маятника до этой оси.

Применим теорему моментов количеств движения к системе, состоящей из маятника и снаряда. Момент количества движения этой системы до удара равнялся mva, поскольку в движении находи.чся только снаряд. Если через «i обозначить угловую скорость вращения маятника непосредственно после Здара, то сумма моментов количеств движения будет теперь

Mktui таа,.

Так как единственными внешними ударами системы являются удары связи (оси), то их моменты относительно оси равны нулю. Следовательно, сумма моментов количеств движения не изменится, и мы получим


Отсюда найдем

mva = Mkta, -\- ma-US,.

Mk 4- тя2

V ---(О,.



= 2sin/F< + -)

Подставляя это выражение в равенство (1), окончательно получим

и= - (М/ 4- та) {Mk + ота2) sin 4". та I

Мы видим, следовательно, что если снаряд застревает каждый раз на одном и том же расстоянии от оси, то его скорость пропорциональна синусу половины наибольшего угла отклонения.

Снаряд надо направлять на таком расстоянии а от оси, чтобы последняя не испытывала удара. Это всегда возможно, так как маятник симметричен относительно вертикальной плоскости, в которой движется его центр тяжести, и поэтому ось подвеса является главной осью инерции для точки Л -проекции центра тяжести на эту ось. Найденные нами общие условия показывают, что снаряд должен остановиться в точке, лежащей на вертикали, проходящей через центр тяжести, на расстоянии от оси, определяемо.м соотнощением

al = k\

Если выполняется это условие, являющееся, очевидно, наиболее благоприятным для сохранности прибора, то формула для определения v упрощается и после замены k" его значением принимает вид

614. Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки.

Пусть твердое тело движется вокруг неподвиисной точки О под действием обыкновенных сил. Допустим, что в момент нему

прилагаются известные удары /*,, Р,.....Рп- В результате этих

ударов за бесконечно малый промежуток времени t, - изменятся скорости различных точек тела, но сохранится его положение.

Внешними ударами, приложенными к телу, являются заданные удары Р,, /*2. Рп и удар Р связи О. Примем за оси Oxyz главные оси инерции в точке О. Эти оси за промежуток времени, в течение которого происходит удар, можно рассматривать как неподвижные. Обозначим через А, В, С моменты инерции относительно этих осей, через р, ft, - составляющие мгновенной угловой скорости непосредственно перед ударом и через р,, ft, г, - те

Найдем теперь зависимость между «1 и максимальным углом отклонения е. Мы получим ее из теоремы кинетической энергии. Когда мы перейдем от вертикального положения к наибольшему углу отклонения, кинетическая энергия, равная вначале {Mk-та)а>1, обратится в нуль. Работа сил тяжести, т. е. весов маятника и снаряда, равна

- {Mgl + mga){\ - cos 6). По теореме кинетической энергии имеем

{Mk + та?-) а>1 = 2 {Mgl -f mga) (1 - cos 6),

откуда, заменяя 1 - cos б через 2 sin -, находим





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [143] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038