Главная Промышленная автоматика.

момента t, когда расстояние между ними сделается наименьшим. В течение этой первой фазы удара между шарами возникают реакции, стремящиеся их раздвинуть. Эти реакции будут очень велики; их работа будет отрицательной и кинетическая энергия системы будет уменьшаться. В момент f скорости обоих центров будут одинаковые, центры не будут больше сближаться, а деформация будет наибольшей. Начиная с этого момента, взаимные реакции обоих шаров будут продолжать действовать, оба шара будут стремиться отделиться и принять свою первоначальную форму, так что в момент t, они будут соприкасаться только в одной точке; на этом удар закончится. В течение этой второй фазы, от момента / до момента t,, кинетическая энергия системы будет увеличиваться, так как работа реакций положительна.

Первую зависимость между скоростями в моменты и t, мы получим по теореме проекций количеств движения. Так как обыкновенными силами, такими, как сила тяжести, можно во время удара пренебречь, то оба шара составляют систему, находящуюся под действием только внутренних ударов. Следовательно, изменение суммы проекций количеств движения на ось Ох равна нулю, и мы получим уравнение

mv,-{-mv[=:zmv-{-mv, (1)

которое можно также вывести, написав, что скорость V центра тяжести не изменяется:

У тУр--ту ту, + т у\ т-\-т т-\-т

Чтобы закончить определение скоростей i; и г», надо сделать предположения о природе обоих тел.

Г. Тела абсолютно неупругие. Тела называются абсолютно неупругими, если они остаются в соприкосновении после удара. В задаче, которую мы разбираем, это определение выражается равенством v,=v.. Тогда на основании соотношения (1) имеем

mva -4- ffzt/ft

В этом случае явление удара сводится только к первой фазе и момент f совпадает с моментом t,. Следовательно, происходит потеря кинетической энергии. Это легко проверить непосредственно. В самом деле, потерянная кинетическая энергия равна

1 {mv\ + mO - i- (mv\ + mvl).

Заменяя и v их значениями (2), найдем:



1 -1 = 0 -0-

что является величиной положительной. Эту потерю кинетической энергии надо понимать в чисто механическом смысле; по закону сохранения энергии она должна вновь возникнуть в какой-нибудь другой форме, например, в форме тепла.

Мы можем на этом примере проверить теорему Карно, которую мы докажем ниже во всей ее общности. Заметим прежде всего, что удар происходит вследствие того, что на систему внезапно накладывается новая связь; оба тела, которые вначале были независимы, пришли в соприкосновение. С другой стороны, в рассматриваемом случае абсолютно неупругих тел эта внезапно наложенная связь сохраняется после удара. При этих условиях потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии, которую имела бы система, если бы каждая ее точка имела скорость, которую она теряет в результате удара. При этом за потерянную скорость каждой точки принимается, по определению, геометрическая разность ее скоростей до и после удара.

В рассматриваемом слзчае потерянная скорость каждой точки первого шара равна абсолютному значению разности - Vq, так как скорости V, и Vo параллельны оси Ох; точно так же скорость, потерянная каждой точкой второго шара, есть абсолютное значение разности v-v; следовательно, кинетическая энергия этих потерянных скоростей равна

m{Vi-v,Y + m{y[~vf.

Заменяя в этом выражении и v[ их общим значением (2), непосредственно найдем, что оно равно вычисленной выше потерянной кинетической энергии (3).

2°. Тела абсолютно упругие. Два тела называются абсолютно упругими, если при их соударении не происходит никакой потери кинетической энергии. Следовательно, если предположить, что оба шара удовлетворяют этому условию, то получится новая зависимость

mvl -\- mv = mvl + "Г-которая совместно с соотношением

mi/ + mv[ = mv -\- mv

позволяет определить неизвестные скорости i; и г». Для решения этой системы напишем оба уравнения в виде m{y - v = m{v - v,

m{vl-v-m4y:-v\.

Отсюда, разделив одно равенство на другое и переставив члены, получим соотношение



т - ш / г\

откуда непосредственно найдем конечные скорости и v.

Если оба шара имеют одинаковую массу (т = т), то а = 0, откуда

= <="о

т. е. каждый из шаров будет иметь после удара такую скорость, какую имел другой шар до удара, и для невнимательного наблюдателя все происходит так, как будто бы оба шара прошли один сквозь другой, не изменив своего движения.

3°. Промежуточный случай. Мы видели, что в случае абсолютно неупругих тел в результате удара относительная скорость обоих тел становится равной нулю; в случае упругих тел эта скорость только меняет знак. Мы можем попытаться, как это делает Ньютон, представить себе, что произойдет с телами, не соверщенно упругими, предположив, что в результате удара эта относительная скорость меняет знак и уменьшается в некотором заданном отношении k:

v-v[=k(y - v) (0<Д!<1).

Если ==0, то тела будут абсолютно неупругими; если они абсолютно упруги, то k=l. Последнее уравнение, к которому мы всегда присоединяем уравнение количеств движения

mv, + mv, = mv + fnvf,

позволяет вычислить скорости и v[. Легко .проверить, что всегда имеет место потеря кинетической энергии, выражаемая величиной

т. е. произведением (1 - k) на потерю кинетической энергии, которая была бы при ударе абсолютно неупругих тел.

4°. Полученные результаты могут быть распространены на удар двух произвольных тел, если выполняются следующие простые условия: общая нормаль к обоим телам в точке касания проходит при ударе через оба центра тяжести; оба тела совершают поступательное движение, параллельное этой нормали.

выражающее, что относительная скорость обоих шаров в результате соударения не изменяется; она меняет только знак, но не меняет своей величины. Положим

Тогда предыдущее соотношение будет тождественно удовлетворено. Если мы эти значения подставим во второе из написанных выше уравнений, то получим





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [141] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0042