Главная Промышленная автоматика.

времени - о- Точно так же Д (т будет обозначать изменение величины т за тот же промежуток времени. Вообще, если и является функцией от х, у, г,

at dt dt

то мы обозначим через Да изменение а, - щ величины и за промежуток времени t, - q- Р" вычислении величины Да необходимо иметь в виду, что изменяются только , г х, у, z нг

Cit cit ut

изменяются, так как во время удара положение точки не изменяется. Уравнения (4) можно теперь написать так:

4«#)=S«- 4"1)=S». M"-§)=S- ()

Эти уравнения выражают следующую теорему:

изменение *) количества движения точки равно геометрической сумме ударов

или, что то же,

изменение проекции количества движения точки на какую-нибудь ось равно сумме проекций ударов на ту же ось.

Составим теперь векторное произведение обеих частей равенства (5) на ОМ = М. Получим

А(тОМХ)==бмХР.

и мы приходим к следующей теореме:

изменение момента количества движения точки М относительно центра О равно сумме моментов ударов, приложенных к точке М, относительно центра О,

или, что то же,

изменение момента количества движения точка относительно какой-нибудь оси равно сумме моментов ударов относительно этой оси.

II. Удары, приложенные к системе

609. Общие теоремы. При помощи предыдущих теорем мы легко получим общие теоремы для случая ударов в материальных системах. Мы будем поступать совершенно так же, как и при выводе основных теорем динамики системы.

Мы разобьем удары, действующие на каждую точку М {х, у, г) системы на две категории. К первой категории мы отнесем все

*) Здесь и далее подразумеваются изменения за время удара. {Прим, пер.}.



Отсюда теоремы:

Теорема I. Изменение суммы количеств движения равно сумме ударов внешних сил.

Теорема I. Изменение суммы проекций количеств движения на неподвижную ось равно сумме проекций внешних ударов на эту ось.

Эту теорему можно рассматривать как следствие общей теоремы о проекциях количеств движения. Чтобы показать это, достаточно проинтегрировать от до t, уравнение

сохраняя в правой части лишь члены, содержащие силы, бесконечно большие в течение бесконечно малого промежутка времени -q-Можно дать другую интерпретацию предыдущей теоремы, если ввести в уравнения всю массу Ш = 1>т и радиус-вектор G центра тяжести 0(Е, ri, С) при помощи формул

т, dO V an di dx

Тогда имеем Отсюда

Теорема. Изменение количества движения центра тяжести будет таким же, как если бы а нем была сосредоточена вся

внутренние удары ЯДа, bi, Cj), другими словами, удары, являющиеся следствием действия внутренних сил. Все другие удары, а именно, внешние удары Peig, bg, Cg), отнесем ко второй категории. После такого разграничения уравнения (5) и (5) примут вид

.....

Составим сумму аналогичных уравнений для всех точек системы. Мы получим

в левой части мы можем поменять местами знаки Д и S и написать

ее в виде Д ] ; во второй части член 2 2 i исчезает, так

как внутренние удары, так же как и вызывающие их силы, подчиняются закону равенства действия и противодействия. Следовательно, имеем



масса системы и были бы к нему непосредственно приложены все внешние удары.

Возьмем теперь теорему момента количества движения для одной точки системы, разделяя по-прежнему удары на внешние и внутренние. Имеем

Складывая аналогичные уравнения для всех точек системы и переставляя в правой части знаки 2 и Д. мы получим

S If ~ж) SS -

где внутренние удары пропадают, так как они равны и прямо противоположны. Полученное уравнение выражает следующую теорему:

Теорема И. Изменение суммы моментов количеств движения относительно неподвижной оси равно сумме моментов внешних ударов относительно этой оси.

Теорема П. Изменение суммы моментов количеств движения относительно неподвижной точки равно сумме моментов внешних ударов относительно этой точки.

Примечание. Во всех предыдущих теоремах мы говорили только о неподвижных осях; но так как, по предположению, в течение бесконечно малой продолжительности удара система не подвергается никакому перемещению, то эти теоремы могут быть приложены также к осям, связанным с одним из тел системы.

П1. Приложение общих теорем

510. Прямой удар двух шаров. Допустим, что два однородных шара с массами т а т сталкиваются в момент времени о- Удар этих двух шаров называется прямым, если в момент оба шара не вращаются и скорости их центров С и С направлены по линии центров СС. За очень короткий промежуток времени - tp, в течение которого происходит удар, линия центров может приближенно рассматриваться как неподвижная, и мы примем ее за ось Ох. Обозначим через •Оц и v отсчитываемые вдоль этой оси, алгебраические значения скоростей обоих центров в момент начала удара и через и v - алгебраические значения этих скоростей в момент t,, когда удар кончается. Из соображений симметрии мы можем допустить, что эти конечные скорости также направлены вдоль оси Ох.

Проанализируем в основных чертах явление. Начиная с момента tp, когда шары приходят в соприкосновение, они вблизи точки касания деформируются и их центры продолжают немного сближаться до





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [140] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004