Главная Промышленная автоматика.

которое и докиывает теорему.

В векторных обозначениях находим сразу:

S/dOMY \\ (dOa , dQMV «n(dGY , V (dGMY

так как

VI dOM „

IV. Теоремы моментов и кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести

360. Теорема моментов количеств движения в относительном движении вокруг центра тяжести. Теорема моментов количеств движения может быть приложена, по доказанному, к движению системы относительно неподвижных осей или осей с постоянными направлениями, совершающих прямолинейное и равномерное переносное движение (334). Если мы желаем исследовать относительное движение системы по отношению к осям, движущимся произвольным образом, то нельзя будет применить эту теорему, не изменяя ее путем добавления некоторых поправочных членов, которые будут определены в теории относительного движения. Но существует такая частная система подвижных осей, что если изучать движения системы относительно этих осей, та можно будет применить теорему моментов количеств движения без всякого изменения. Этими частными осями являются оси, имеющие постоянное направление и проходящие через центр тяжести. Это обстоятельство выражают, говоря, что теорема моментов количеств движения может быть приложена к относительному. движению системы по отношению к осям постоянного направления, проходящим через ее центр тяжести.

Это можно доказать, комбинируя уравнения движения центра тяжести с уравнениями моментов в абсолютном движении. ОЬновре-менно это показывает, что новые уравнения, которые получатся, не будут независимыми от шести первых общих уравнений, установленных в разделе I.

Рассмотрим, как и выше (пп. 347 и 348), систему осей Oxyz. параллельных неподвижным осям и имеющих начало в центре тяжести. Будем исходить из уравнения моментов относительно точки О:

§m6Mx=-0MXF,. (1)

выражающих, что начало подвижных осей находится в центре тяжести. Мы приходим, таким образом, к уравнению



Сделаем в этом уравнении преобразование координат

OM=OG-\-GM. Мы видели (348), что тогда левая часть приводится к виду

Л. Г dt

Правая часть равенства (1) напишется так:

(00+ож) X/="в = 00 X (22/J+22 ож X/е-

Замечая, что

d iTZTl: ., dOG\ -rrt. . dюS

dt \ dt 1~ dt *

и принимая во внимание уравнение движения центра тяжести

мы приведем, наконец, уравнение (1) к виду

Таким образом, теорема доказана. Полученное уравнение (2) имеет тот же вид, что и уравнение (1), с той лишь разницей, что абсолютные координаты заменены координатами относительными.

Доказательство, основанное на теории относительного движения. К тому же результату можно прийти быстрее, исходя из теории относительного движения, что мы увидим в разделе II главы XXII.

Геометрическая интерпретация. Так же как и в случае абсолютного движения (п. 330) имеется простая геометрическая интерпретация этой теоремы. Пусть Оо (рис. 194)- главный момент относительно центра тяжести О векторов, изображающих количества относительного движения mV, и GS - главный момент внешних сил. Теорема выражает, что относительная скорость по отношению к осям Gxyz конца о первого момента равна и параллельна второму моменту 05.


Рис. 194.



В этом случае вектор GS равен нулю, относительная скорость точки о тоже равна нулю и вектор Оо постоянен по величине и направлению. Его проекции на три оси Gx, Gy, Gz суть постоянные А, В, С. Теорема площадей применима теперь к проекции относительного движения на любую плоскость Р постоянного направления, проходящую через центр тяжести, так как такую плоскость можно всегда принять за плоскость xGy. Постоянная площадей на этой плоскости Р есть проекция вектора Оа на прямую Оп, перпендикулярную к этой плоскости. Следовательно, эта постоянная имеет наибольшее значение на плоскости П, перпендикулярной к вектору Go. Эта плоскость называется плоскостью максимума площадей. На плоскости, проходящей через вектор Оа, постоянная площадей равна нулю.

3°. Приложение к солнечной системе. Неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь действием звезд, то система, образованная Солнцем, планетами и их спутниками, не подвергается действию никаких внешних сил. Следовательно, если взять оси с постоянными направлениями, проведенными из центра тяжести G системы, который расположен весьма близко к Солнцу, то главный момент Оа относительно точки G количеств движений, вычисленных по отношению к этим осям, является постоянным по величине и направлению. Можно вычислить для какого-нибудь момента времени проекции А, В, С этого вектора на оси, подсчитав суммы моментов количеств движения относительно этих осей всех тел системы.

Плоскость П, перпендикулярная к определенному таким образом вектору Go, сохраняет постоянное направление. Это - плоскость максимума площадей. Мы имеем, таким образом, указанную Лапласом

Приложения. 1°. Теорема площадей. Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси постоянного направления, проведенной через центр тяжести, например оси Gz, равна нулю, то

В этом случае теорема площадей применима к проекции относительного движения на плоскость xGy, причем центром площадей является точка О.

2°. Главный момент внешних сил относительно точки G равен нулю. Если нет внешних сил, или если суммы моментов этих сил относительно осей Gx, Gy, Gz равны постоянно нулю, то будет существовать интеграл (3) и два других аналогичных интеграла





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038