Главная Промышленная автоматика.

Каков бы ни был закон силы, величины X, Y, Z могут быть рассматриваемы во время движения как функции времени t. Умножим обе части этих уравнений на dt и проинтегрируем от ДО Получим:

I dx\ I dx

dt)o

dt и

dt /о

]xdt,

«

JYdt,

fzdt.

dtJo

являются значениями m

dx dt

менты ti и 0-

Те же равенства можно написать в виде

в мо-

Вектор в правой части равенства (2). составляющие которого суть интегралы, стоящие в правых частях равенств (2), называется импульсом силы Г(Х, Y, Z) за промежуток времени t, - о- имеем следующую теорему:

Геометрическое изменение количества движения точки за промежуток времени t, - рпо импульсу силы, действующей на точку.

Допустим, что промежуток t, - очень мал. Если сила X, Y, Z в этом промежутке не будет очень больщая, то правые части уравнений (2) будут очень малыми величинами, и поэтому скорость точки за промежуток времени t, - t изменится очень мало. Это и имеет место при движении точки под действием обыкновенных сил, таких, например, как силы тяжести, силы ньютоновского притяжения к неподвижному центру и т. д. Но если сила X, Y, Z имеет в течение очень короткого промежутка времени t, - очень большую величину,

порядка ---т-, то интегралы в правых частях уравнений (2) имеют

f 1 - о

конечные значения, импульс остается конечным, и поэтому скорость точки претерпевает конечное изменение. Однако точка в течение этого же промежутка времени t, - перемещается очень мало, так как



ее скорость во всем промежутке остается конечной. Точнее говоря, если обозначить максимальное значение скорости в рассматриваемом промежутке времени через V, то перемещение точки будет меньше, чем V(,t, - to).

Итак, очень большая сила, действующая на точку в течение очень короткого промежутка времени, производит конечное изменение скорости без заметного перемещения точки.

В качестве первого приближения рассмотрим предельный (идеальный) случай, когда промежуток t,-бесконечно мал, а сила в этом

промежутке бесконечно велика, порядка . Тогда точка полу-

чит внезапно конечное изменение скорости, не изменяя своего положения. В таких случаях мы будем говорить, что на точку т действует удар *) и будем представлять этот удар в виде вектора Р с началом в точке Ж и с проекциями, равными трем интегралам: «. t, t,

a=fXdt. b = fYdt, c = fZdt.

i «0 «0

Тогда уравнения (2), определяющие изменение скорости, напишутся так:

I dM\ fdM\ „

Эти уравнения позволяют измерять удар по производимому им эффекту. Пусть /wjiq-количество движения точки т (рис. 270) до удара, а OTjii - ее количество движения после удара. Построим геометрическую разность век* торов m,vim. Уравнение(3) выражает, что эта разность равна удару, приложенному к точке. Следовательно, имеем:


тх - /и{1о = Р.

Рис. 270.

Это соотношение определяет удар как функцию количеств движения в моменты 0 и i- Наоборот, если известны количество движения /и{1о ДО удара и удар Р, то количество движения отр,, после удара есть геометрическая С)мма векторов т и Р.

*) Здесь и далее под ударом подразумевается то, что обычно называется ударным импульсом. (Прим. перев.)



2°. Действие нескольких ударов. Пусть F", F", ...-несколько сил, действующих на точку и имеющих проекции {x, y, z),... Уравнение движения будет

т = /="+ +/=•"+,...

Умножим обе части на dt и проинтегрируем в пределах от t до Получим

< *. *.

-() --(1г)о = ./ fit-Vfrdt+f F"dt+... (4)

*0 *0 *0

Предположим, что промежуток времени t, - бесконечно мал, а силы F, F", F", ... в этом промежутке бесконечно большие,

порядка • , . Тогда, как мы только что видели, интегралы в правой 1 - о

части имеют конечные значения и определяют удары Р, Р", Р", ...

Уравнение (4) показывает, что изменение количества движения точки М будет такое же, как и при действии только одного удара Р, определяемого соотношением Р = РР"-\-Р"-\- ...

Этот удар Р, который может заменить рассматриваемые удары, равен, следовательно, их геометрической сумме. Таким образом, несколько ударов, приложенных к точке, складываются как силы.

Если а, Ъ, с суть проекции вектора Р, а, Ь, с - проекции вектора Р, а", Ь", с" - проекции вектора Р" и т. д., то

аа а" + а"+ ьЬ + Ы + Ь"+ ....

сс-\-с" + с"+ ...

507. Эффект действия обыкновенных сил, таких, как сила тяжести, за время удара равен нулю. В самом деле, допустим, что так же, как и в предыдущем случае, точка находится под действием нескольких сил F, F", F"\ но предположим, что сила F остается конечной в течение бесконечно малого промежутка времени! - t.b то время

как другие силы становятся бесконечно большими порядка , , .

h - «о

Тогда Р равно нулю, в то время как Р", Р", .. . отличны от нуля, и в уравнении (4) первый член правой части исчезнет, так как эффект" действия обыкновенной силы F за промежзток времени t, - t ничтожно мал.

Так, если мяч ударяется о стену, то действие силы тяжести мяча во время удара ничтожно мало по сравнению с эффектом самого удара.

508. Выводы. Теоремы для одной материальной точки. Для

сокращения письма мы обозначим через Д т величину

/ dx\ ( dx\ dx

~\"-~dr} изменение величины за промежуток





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [139] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038