Главная Промышленная автоматика.

где k - положительная постоянная, одинаковая во всех уравнениях.

Сделаем замену переменной с помощью подстановки -с = е-*. Тогда уравнения движения примут вид

Таким образом, задача привелась к интегрированию уравнений (2), представляющих собой уравнения движения системы без сопротивления среЬы, nodвepжeннoй deucmeuw сил, имеющих новую силовую функцию V.

Следовательно, к этой последней системе можно приложить методы Гамильтона и Якоби; возвращаясь затем к прежней переменной t, получим интегралы системы (1).

Этот метод можно применить к; следующим частным случаям:

1) к движению одной-единственной точки.

[Эта задача была исследована Эллиотом и приведена им другим способом к канонической форме (Elliot, Comptes rendus, 1892; Annates de IEcole Normal, август 1893). См. также первый том, упражнение 12 к главе XVI.]

2) к движению двух тяжелых точек, связа1!ных нерастяжимой и невесомой нитью, когда на каждую из точек действует сопротивление среды, пропорциональное массе и скорости точки.

* 6. Найти движение трех материальных точек т, т, т", лежащих в одной неподвижной плоскости и взаимно притягивающихся силами, являющимися функциями расстояния; точки т и т" должны, кроме того, оставаться на постоянных расстояниях от т. (См. Liouville, Sur un probleme de Mecanique, Journal de Liouville, 2 serie, т. III.)

Положение системы зависит от четырех параметров; принимая за один из них угол а между mm и mm", мы видим, что силовая функция зависит только от а. Задача приводится к квадратурам.

7. Пусть f = c и i/ = с - два интеграла канонических уравнений. Если скобка (f, i/) не равна нулю и является функцией только от у и ф, то всегда существует функция / от 9 и ф, которая, будучи приравнена постоянной, даст такой интеграл, что (9, /) будет тождественно равняться единице.

8. Memod Лиувилля приведения произвольной системы duффepн циальных уравнений к канонической форме. Даны обыкновенные ди()фе-ренциальные уравнения первого порядка вида

= = ... = = d. (1)

Лх Л2

где Xi, Хо.....Хп- заданные функции от Хц хз.....х„ и <.

Введем вспомогательные переменные у,, у,.....Уп и положим

Н = Х1У1 +Хгуг- ... +ХпУп.

переменной t можно обратить сопротивление среды в нуль, так что после этого станет возможным применение к системе теорем Гамильтона и Якоби.

Ответ. Уравнения движения, согласно методу множителей Лагранжа, будут:

ди , dx dfl ,1 dfn ...



(2) (3)

служащими для определения вспомогательных переменных.

Совокупность уравнений (2) и (3) образуют каноническую систему.

9. Теорема Буля. Дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

dxi dXj dXn Хх Xi " Х„

Можно всегда присоединить к функциям Хх, Х.....Хп функции

Yx, Кг, .... Yn тех же переменных х,, хо, х„ таким образом, что если f(xx, Хг, дг„) = const, является произвольным первым интегралом уравнения (1), то выражение

будет другим интегралом.

(Buhl, Докторская диссертация, 1901.)

Эта теорема содержит как частный случай теорему Пуассона; но ее можно также вывести из теоремы Пуассона. (Аппель, Comptes rendus, август 1901.)i

См. также работу де Дондера «Etude sur les invariants integrauxj (Circolo di Palermo, 9 mars 1902).

10. Преобразование дифференциальных уравнений Гамильтона. Преобразование канонических уравнений в другую каноническую систему исследовано Ли (Lie, Die St6rungstheorie und die Berilhrungstransformationen, напечатанное во И томе Archiv for Mathematik of Naturvidenskab, П, Kristiania, 1877). См. также статью Морера (Morera, Sulla transformazione delle equazioni differential! di Hamilton, Rend, della R. Academia dei Lincei, T. XII, 15 февраля 1903).

11. Определение уравнений Гамильтона - Якоби, интегрируемых посредством разделения переменных (Francesc о-А и г е 1 i о D а 11А с q и а, Mathematische Annalen, т. 66, 1908, стр. 398; Burgatti Rendiconti della R. Academia dei Lincei, январь 1911).

12. Канонические формы общих уравнений движения частицы в магнитном поле и в электрическом поле, наложенных друг на друга (Carl S t б г-mer, Comptes rendus, т. 151, 26 sept. 1910, стр. 590).

Мы можем написать систему (1) в виде

dxx dtl dx2dH dxn дН

dt " дух dt дуг "" dt дуп

вместе с уравнениями

= i =: Уп дН

dt ~ дхх dt ~ дхг dt ~ дх„



ГЛАВА XXVI УДАР

I. Удар, приложенный к материальной точке

505. Определения. Может случиться, что точки материальной системы резко меняют свои скорости за весьма короткий промежуток времени, но система за тот же промежуток времени не меняет заметно своего положения.

Например, когда толкают кием неподвижный бильярдный шар, то за весьма короткий промежуток времени, в течение которого кий соприкасается с шаром, точки шара мгновенно приобретают конечные скорости, но за тоже время эти точки не меняют заметно своего положения. После этого шар движется по сукну по изученным нами законам.

Аналогичное явление наблюдается у брошенного в стену и отскакивающего от нее упругого мяча, За весьма короткий промежуток времени, в течение которого мяч находится в соприкосновении со стеной, он не меняет заметно своего положения, но скорости его различных точек резко изменяются, так как в момент времени, непосредственно предшествующий соприкосновению, мяч двигался по направлению к стене, а тотчас после соприкосновения он от нее удаляется. Начиная с этого момента, движение мяча снова происходит под действием силы тяжести. Влиянием последней можно было пренебречь при соприкосновении мяча со стеной, которое происходило в течение очень короткого промежутка времени.

При такого рода явлениях говорят, что движущаяся система испытывает удар.

Эти явления приписывали раньше так называемым мгновенным силам. По существу явления удара вызываются очень большими силами, действуюш,ими в течение очень короткого промежутка времени, и могут быть легко изучены с помощью общих теорем динамики. Мы исследуем сначала эти явления для одной материальной точки.

506. Удар, приложенный к одной материальной точке.

1°. Один удар. Рассмотрим сначала материальную точку М массы т, находящуюся под действием силы F с проекциями X, Y, Z. Уравнения движения этой точки будут

rfajt ау

т- = Х, m-j=Y, m-Z, (1)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [138] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039