Главная Промышленная автоматика.

Если мы подставим значения (2) в сумму (1), обозначенную через R, то она обратится в функцию второй степени относительно k величин ft, ft.....ft. На основании формул (2) возможные ускорения

точек (х, у, г) определяются различными значениями, Которые можно

приписывать величинам ft, ft, ft. Значения же ft, ft.....ft,

соответствующие действительному движению, получатся, если приравнять нулю частные производные от суммы R по ft, ft- •••• Яи-так как действительные ускорения точек должны обратить сумму R в минимум. Напищем эту сумму:

R = \m{x"-\-y"-z")-(Xx"+Yy" + Zz") (3)

где ненаписанные члены не зависят от х", у", z". Обозначим, как и выще, через

энергию ускорений системы; с другой стороны, образуем сумму

X{Xx" + Yy" + Zz").

Если в ней заменить х", у", г" их значениями (2), то эта сумма примет вид

••• ••••

где мы не выписываем члены, не содержащие ft, 9*.....ft. Теперь

для получения уравнений движения нужно приравнять нулю частные производные по ft, ft.....ft функции

R = S-Q,q;-Qq;- ...-Q,g,. Таким образом, мы получаем уравнения, выведенные в п. 465,

Oft Oft oq

которые справедливы для любых систем связей и параметров.

Энергия ускорений 5 является функцией, характеризующей систему; величины Qi, Q2.....зависят от приложенных сил (см.

также п. 468).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Приложить метод интегрирования Якоби к задачам, рассмотренным в предыдущих главах или предложенным в качестве упражнений в конце этих глав.

2. Прямоугольный триэдр OXYZ вращается с постоянной угловой скоростью (о вокруг своего ребра 0Z, которое направлено в сторону, противоположную направлению силы тяжести; он увлекает за собой параболоид Р, который, отнесенный к осям ОХ, 0Y, 0Z, имеет уравнение

х2 у2 = 2рг.



Точка м массы 1 и веса g движется по поверхности р и притягивается

к вершине о параболоида силой, равной мо; кроме того, если ма

и mb - перпендикуляры, опущенные из точки м на прямолинейные образующие р, проходящие через вершину О, то точка м находится еще под

действием двух сил, направленных по векторам am и вм и равных соответственно - am и - вм. Р Р

Пусть положение точки м определяется значениями параметров X и ц, входящими в уравнения

параболоидов, софокусных с Я и проходящих через м. Требуется:

1) составить уравнение с частными производными, для которого по теореме Якоби достаточно знать полный интеграл, чтобы при помощи простых дифференцирований вывести уравнения движения точки м;

2) найти этот полный интеграл и уравнения движения, полагая, что и = 0;

3) проинтегрировать уравнение траектории и указать форму этой кривой, если о) все время равно нулю и в начальный момент

,/"3" dx 3-f3V2,r- dy 9-fy,r-

(Кандидатский экзамен.)

3. конформные преобразования в механике (по Гурса). Рассмотрим движение материальной точки в плоскости в случае существования силовой функции U(x, у). Определение траекторий, соответствующих одному и тому же значению h постоянной энергии, приводится к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными

Ш)+()*-<-+)-

Положим 2 = х-\-у1, Z = X-\-Yl и пусть z = F(Z) - аналитическая функция комплексной переменной Z. Из этого соотношения вытекает

хч(Х, У), у = <Ь(Х У), (2)

где функции -я <i/ удовлетворяют условиям

<?у дЬ df

дХ " дУ дУ " дХ

Если в уравнении (1) сделать преобразование переменных, определяемое формулами (2), то можно непосредственно убедиться, что оно обратится в уравнение

имеющее тот же вид, что и уравнение (1). Следовательно, если рассмотреть все траектории, соответствующие силовой функции U (х, у) и значению h постоянной энергии, и если эти кривые подвергнуть конформному



и значению постоянной энергии, равному нулю. Например, беря

и= ° = + Л = 0,

где а и р - постоянные, и полагая затем г = Z2, х = X-Y, у = 2XY, найдем новую силовую функцию

4а + 4р (Ха +

Мы переходим, таким образом, от закона притяжения Ньютона к закону притяжения, пропорционального расстоянию. (О о и г s а t, Comptes rendus, т. CVIII, стр. 446.)

4. Преобразование Дарбу. Пользуясь обозначениями п. 487, рассмотрим систему с не зависящими от времени связями, находящуюся под действием сил, имеющих не зависящую от t силовую функцию U, и пусть

= 2 «г (йх + йу + dz) = 2 dqj.

Согласно принципу наименьщего действия определение траекторий сводится к определению функций q,, ft..... ft. обращающих в минимум

интеграл

A = f yiZ/TI dS, где а и р - постоянные. Так Kas; имеем тождественно

dS = и rfS2,

то мы видим следующее:

Если известны траектории данной системы при значении постоянной энергии, равном -, то можно найти траектории другой

системы с k параметрами ft, ft.....ft, для которой новое dS определяется формулой

dS"- = UdS а новая силовая функция - формулой

причем новое значение постоянной энергии будет равно

Это преобразование содержит в себе предыдущее преобразование Гурса (Darboux, Comptes rendus, т. CVIII, стр. 449.)

5. Система, связи которой могут содержать время, находится под действием сил, имеющих силовую функцию IJ от координат и времени. Кроме того, на каждую точку действует сопротивление среды, пропорциональное массе точки и ее скорости. Доказать, что преобразованием независимой

преобразованию (2), то новые кривые будут траекториями, соответствующими новой силовой функции





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [137] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036