Главная Промышленная автоматика.

--, . Следовательно, для координат точки b имеем

z + zdt + dt\ ф)

вектор сЬ имеет проекции

Ш-"У"- [li-y-y- й)

а проекции вектора тсЬ, получаемого умножением сЬ на массу, равны l.{X~mx")dt\ j(Y-my")dfi, l(Z - mz")dfi.

Отсюда на основании общего уравнения динамики

2 [(- тх") 8л; 4- (К - ту") by-j-{Z - mz") bz] = 0.

->•

т. е. сумма работ векторов вида тсЬ равна нулю при любом возможном перемещении, допускаемом связями.

Пусть у, y, y". ••-положения, бесконечно близкие к положениям с, с, с".....которые могут принимать точки т, т, т".....

не нарушая связей системы. Работа вектора тсЬ на возможном перемещении С"! равна

т • сЬ • су. Необходимо, чтобы сумма этих работ

т -сЬ,- С1

была равна нулю для всех положений 7, у, 7", допускаемых связями.

Но очевидно, что

7)2 Cc+cbf = с2 32 - 2с . сЬ.

и поэтому

т • Ь=Ут сЬ-\-т - 2т • сЬ • с-. Так как последняя сумма равна нулю, то

т • су,

и поэтому разность

т-Ь - т-Л

всегда положительна. Она равна нулю только в том случае, если точки 7, y, 7", . . . совпадают с точками с, с, с", ... Отсюда



сумма - сЬ является всегда минимумом, что и требовалось доказать.

Аналитическая формулировка принципа Гаусса. На основании указанных выше выражений для проекций векторов сЬ имеем:

S-»-=Sf[(#-4+(-4+(l-»"r]-

Если в другом движении, допускаемом связями, точки за тот же

промежуток времени dt приходят в положение j, 7, у".....то

ускорения будут иметь другие значения х, у, г,, обусловленные связями, и точно так же мы найдем

V ич dt* V от г/А ,Л2 (Y „\i IZ „\21

Так как "m • bc всегда меньше чем 2 "J- • *Т. то можно сказать: В каждый момент времени t среди всех ускорений, обусловленных связями, действительными ускорениями х", у", г" различных точек системы будут те, которые обращают в минимум функцию

второй степени относительно х", у", г", .. .

Такова аналитическая формулировка принципа Гаусса.

Мы обязаны А. Майеру из Лейпцига за следующие исторические и библиографические сведения. Аналитическая формулировка принципа Гаусса была указана еще Якоби в одной из неопубликованных лекций; независимо от Якоби она была дана Шеф-флером (Scheffler, III Band der Schlomilchschen Z., стр. 197). Она воспроизведена у Маха (Die Mechanik in ihren Entstehung his-torischkritisch dargestellf, Leipzig, 1883), у Герца (Oesammelte Werke, T. Ill) и у Больтцмана (Vorlesungen uber die Principien der Mechanik, Leipzig, 1897). Уиллярд Гиббс в одной из своих работ (Wilia г d Gibbs, On the fondamental formuloe of Dynamics, American Journal of Mathematics, т. II, 1879) указал приложения этой аналитической формулировки к различным задачам, в особенности к вопросу о вращении твердых тел; наконец, Майер также пользовался этой формулировкой в интересной статье под названием Ueber die Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung fiir Reibungslose Punktsysteme, die Bedingungsungleichungen unterworfen sind und Zur Regulierung der St6sse in Reibungslosen Punktsystemen, die dem Zwange von Bedingungsungleichungen unterliegen (Abdruck aus .den Berichten der mathematisch-physikalischen Klasse der konigl. SSchs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Sitzung vom 3 Juli 1889).

Можно также указать на статью Хельдера, заключающую в себе сравнение различных принципов (Н о е 1 d е г, Ueber die Principien von



*) См. еще статьи в книге «Вариационные принципы механики», М., 1Э.59.

Hamilton und Maupertius, Naciirichten der К- Gesellschaft der Wissenschaften zu GOttingen, 1896, Heft 2). Отметим, наконец, статью Вас-смута Das Restglied bei der Transformation des Zwanges in allgemei-nen Coordinaten (Sitzungsberichte der kaiserlichen Al?ademie der Wissenschaften in Wien, T. CX, часть II, апрель 1901)*).

Общая форма уравнений динамика. Отметим в заключение, что с аналитической формулировкой принципа Гаусса можно связать найденную выше (п. 465) общую форму уравнений динамики (Journal de Crelles, т. 121 и 122 и Journal de Mathematiques pures et appliquees de Jordan, premiers fascicules, 1901 и 1902). Пусть дана произвольная система, в которой наиболее общее возможное перемещение, допускаемое связями, определяется k вариациями Ьд,, Ьд,.....Ьд. Для произвольной точки системы имеем:

5л; =:: fli S, + §92 + ••• -fftSft. by = bibg,+b2bg2-\- ... +bubqj,, ЬгсЬд + сЬд, -\- ... -\-сЬд, откуда для суммы возможных работ приложенных сил получаем iXbx-\-Yby + Zbz) = Qibgi + Q2bg,-{- ... Qbg.

Qi = 1,(a,X-\-biYCiZ). ...

С другой стороны, действительное перемещение системы за промежуток времени dt получится, если увеличить д,, д,, .. ., д на

dg,, dg.....dg- Тогда для действительного перемещения точки

(л:, у, г) имеем:

dx :=aidgi-\ra2dg,-\--.. . + а dg + а dt,

dy=zbxdg,-\-b2dg2-j- ... bdgbdt,

dzc,dg,+C2dg2-\- ... -\r dg с dt.

Разделим эти равенства на dt и применим обозначения Лагранжа для производных. Получим:

= «1< + «22 + • • • + +

= 191 + 292+ ••• +кЯк+-

Отсюда, дифференцируя еще раз по времени, имеем: х" = ад;-]га,д; ... +a,gl+ y" = b,g;b,g;+ ... -{-b,gl+ .... z" = cq[ + c,gl+ ... ••





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.1637