Главная Промышленная автоматика.

*) Цитируем по русскому изданию (см. Лагранж, Аналитическая механика, т. II, пер. В. С. Гохмана, под ред. Г. Н. Дубошнна, стр. 411, Гостехиздат, 1950). (Прим. пер.)

я если а обозначает интеграл, не обращающий в нуль В (а), то В (а) будет множителем. Тогда знание двух интегралов а и 5 позволит образовать тре-В (6)

тий , так же, как это позволяет делать теорема Пуассона в случае ка-

В(а)

ионических уравнении.

Относительно приложений теории интегральных инвариантов можно сослаться также на работы де Дондера (de bonder, Circolo di Palermo, т. XV, 1901; т. XVI, 1902), Верня (V е г g n е, Sur certaines. proprietes des systemes dequations differentielles, 2e partie, Annales de IEcole Normale superieure, 1910) ii Гурса (Journal de Jordan, т. IV, 1908). Укажем, наконец, на обобщения, принадлежащие Вольтерра (Atti della R. Асе. di Lincei, Rendiconti, т. VI, 1890) и Фреше (Frechet, Annali di Mat., т. XI, 1905), изложенные де Дондером в публикации Sur les equations canoniques de Hamilton - VoUcrra (Oauthier-Villars, 1911).

VII. Принцип наименьшего принуждения Гаусса

504. Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными близкими движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486); затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем неголономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени.

Мы воспроизводим здесь перевод начала статьи Гаусса вместе с комментарием, которым сопроводил его И, Бертран в приложении IX к третьему изданию «Аналитической механики» Лагранжа (т. II, стр. 357)*).

«В т. IV Crelles Journal Гаусс опубликовал красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее изящным их выражением, какое только им было придано; французские читатели будут нам благодарны, если мы приведем здесь перевод нескольких страниц, посвященных знаменитым геометром изложению этого нового принципа.

Как известно, принцип виртуальных скоростей превращает любую проблему статики в вопрос чистой математики, а с помощью



принципа Даламбера динамика в свою очередь сводится к статике. Отсюда следует, что ни один основной принцип равновесия или движения не может существенно отличаться от двух упомянутых нами выше принципов и что, каков бы ни был этот основной принцип, его всегда можно рассматривать как более или менее непосредственный вывод из двух упомянутых принципов.

Это не значит, что всякая новая теорема не заслуживает поэтому никакого внимания. Наоборот, всегда интересно и поучительно исследовать законы природы с новой точки зрения, придем ли мы при этом к более простой трактовке того или иного частного вопроса или достигнем лишь большей точности формулировок.

Великий геометр (Лагранж), столь блестяще обосновавший науку о движении на принципе виртуальных скоростей, не пренебрег возможностью улучшить и обобщить принцип Мопертюи, касающийся наименьшего действия, и, как известно, этот принцип зачастую с большой пользой применяется геометрами.

Подлинный характер принципа виртуальных скоростей заключается ВТОМ, что этот принцип является, так сказать, общей формулой, решающей задачи статики, и что, следовательно, он может занять место всякого другого принципа. Однако он не носит на себе печати абсолютной очевидности, которая убеждает, как только ознакомишься с его изложением.

С этой точки зрения основная теорема, которую я собираюсь изложить, должна, мне кажется, получить предпочтение; сверх того, она обладает тем преимуществом, что одновременно охватывает общие вопросы равновесия и движения.

Если для развития науки и для индивидуального исследования представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, и от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в силу которого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики .. .

Новый принцип заключается в следующем.

Движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на ifeadpam величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной.

Пусть

W, т, т", ...-массы точек, а, а, а", ...-их соответственные положения в момент t,



является минимумом или, другими словами, когда сохранение системы в состоянии покоя является более близким к свободному движению всех точек системы в случае упразднения связей, чем к возможным перемещениям, допускаемым связями.»

Доказательство. В момент t точка т занимает положение а с координатами х, у, г; она обладает скоростью, проекции которой равны первым производным х, у, г от координат х, у, z по времени, и ускорением, проекции которого равны вторым производным х", у", z" от координат х, у, z по времени; наконец, кроме реакций связе, на нее действуют заданные силы, равнодействующая которых имеет проекции X, Y, Z. В действительном движении системы координаты X, у, z являются функциями времени; в момент t точка т занимает положение а, в момент t-j-dt она занимает положение с. По формуле Тэйлора, если ограничиться тремя первыми членами, координаты точки с будут

х-\-х dt-\-x"dt\ y+ydt + y"dt,

zzdt + z" dtK (с)

Если бы в момент t точка т стала свободной, т. е. если бы связи были внезапно отброшены, то эта точка имела бы ускорение, проекции которого в силу основного закона механики (п. 69) рав-X Y Z

нялись бы -, -, -, и ее положение b по истечении промежутка

времени dt определялось бы формулами, аналогичными предыдущим,

в которых х", у", г" нужно было бы заменить величинами -,

b, b, b", ... - места, какие они заняли бы по истечении некоторого бесконечно малого промежутка времени dt под влиянием действующих на них сил и скорости, приобретенных ими к началу этого промежутка.

Приведенный выще принцип гласит, что положения с, с, с".....

которые эти точки займут, являются между всеми положениями, допускаемыми наложенными на них связями, такими, для которых сумма

тЫ?- -f- mF? + mW -f- . . .

является минимумом.

Равновесие является частным случаем общего закона; оно имеет место в том случае, когда точки не имеют скорости и сумма





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0047