Главная Промышленная автоматика.

двух параметров. Интеграл /, если в него ввести переменные X и (х, примет вид

И пределы интегрирования не будут зависеть от времени.

Однако, так как все Мц, и все х< зависят от t, то интеграл / -будет также от него зависеть. Для того чтобы он не зависел от t, необходимо, чтобы

Если это имеет место, что мы и.предполагаем, каковы бы ни были форма и протяженность подпространства а следовательно, и подпространства £2.. то совершенно очевидно, что данное уравнение должно иметь место, как бы ни были выбраны функции xf, а следовательно, и функции лг,- от X и ц. Но

когда X изменяется на ЬХ, тогда Х{ изменяется на Ьх{ - ЬХ и совершен--

но ясно, что все ЬXi удовлетворяют уравнениям, полученным от вариирова

ния уравнений (33). То же будет справедливо и для вариаций b"Xi = 6,а.

соответствующих изменению только переменного (л. На основании этога уравнение напишется так;

YiMik(bXib"xk-bXkb"Xi)

= 0.

Оно выражает, что функция

/ = 2 fi* (i "к - °"») ifc

является интегралом, зависящим от трех бесконечно близких решений Х{,, Xi + bXi, Xi + b"Xi.

Так, например, мы видели, что в случае канонических уравнений сумма,

Z(gib"Pi-b"qibpi)

есть интеграл, если bpi, Vqi и b"pi, Vqi суть две системы решений уравне--ний в вариациях. Это равносильно тому, что двойной интеграл

/ == J J {dPi dqi + dpo, dq2+ ... + dpn dqn)

является интегральным инвариантом.

Точно так же можно рассматривать Л-кратные интегралы, представляющие собой интегральные инварианты, т. е. такие, для которых производная, по времени равна нулю, каково бы ни было подпространство Е, по которому происходит интегрирование.

Пусть

/ = •••/ 2 "-.....X 5х„ охр ... 5лгх



- й-кратный интеграл, в котором Мл, р.....х суть функции от дг и от t.

Условие =0 эквивалентно следующему:

= 0.

b*jc, ь*лг... 8*хх

Оно выражает, что сумма 2- которой Ь, 5 5* -символы различных дифференциалов, является интегралом, зависящим от й -J- 1 бесконечно близких решений.

Возьмем, например, и-кратный интеграл

Утверждение, что интеграл / является инвариантом, равносильно утверждению, что произведение

Ых1 812 ... Ыхп bXi 52X2 ... Ь-Хп

Р = М

= m.d,

b»xi 5%2 . •. S"x„

в котором 51, 52, ...,8" обозначают п систем различных дифференциалов, является интегралом, зависящим от л -- I бесконечно близких решений. Выясним, какой должна быть функция М, чтобы это имело место. Мы должны dP

иметь

О или

d + mLo.

dt dt

Дифференцирование определителя D приводит к следующему результату:

dbixi

dD dt

dt dt

82x,

Ь"х,.

Ь»хп

где точки означают и-1 определителей, подобных написанному первому «пределителю.

Но Ьх/с удовлетворяют уравнениям в вариациях, так что

dt дх, дх2

, дХ,

db-xt дХ

82x2+...+f-52x„.



Подставляя эти значения в написанный выше определитель, мы видим, что он равен произведению

Точно так же остальные определители равны

текает, что

dD dt

и поэтому

с другой стороны, мы знаем, что

4= ZдFi+дf•

дXn дХп

D, откуда вы-

Следовательно, окончательно находим dP

= 0,

т. е.

\\d{XiM) , дМ jU dxi dt

Отсюда видно, что М должен быть множителем Якоби.

Из предыдущего результата легко вывести свойство инвариантности множителя, установленное вначале, так как, если произвести преобразование переменных х,, Хо,, х„, то определитель D умножится на определитель преобразования Д. И если М будет множителем с прежними переменными, то Л1Д будет множителем с новыми переменными.

Мы опять приходим к множителю Якоби, что очень интересно, так как этот результат выясняет важное значение новых понятий, введенных Пуанкаре, поскольку множитель появляется как частный случай значительно более общих понятий. Добавим, что этот выдающийся ученый извлек большую пользу из интегральных инвариантов в своих исследованиях по механике, в особенности в вопросах, касающихся устойчивости. Но мы отсылаем по этому вопросу к книге Пуанкаре «О новых методах небесной механики», т. III (Sur les methodes nouvelles de la Mecanique celeste).

В заметке, помещенной в январе 1896 г. в Comptes rendus, Кёнигс исследовал также интегральные инварианты, представляемые (и-1)-кратными интегралами вида

«-1

1= j J ... j Midx, ... dX{-i dXf+i ... dXn,

в предположении, что коэффициенты Z дифференциальных уравнений, так же как и функции М, не зависят от t. Если положить





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0041