Главная Промышленная автоматика.

dQ( dt

dqf dpi

dPp dpi

dqf dqi

dp dqt

которые после замены Qj, Pj пропорциональными величинами 5, 5pj принимают вид

(f.n\ V dm , V dm .,(dH\ p f

Отсюда следует

d (59,, - 5в5) + 5 (8в - db,,) + 5 (rf - 56) = О,

что также является тождеством.

Примем тогда в качестве 85 форму Рг Hi- Мы видим, что

Отсюда, на основании тождества (50),

Но если дифференциалы d соответствуют такому изменению переменной t, что выполняются уравнения (49), то

вй5 = 2 {dpi bqi - dqt bpi) = - ЬНЫ, 6,, = - 5Я dt. Таким образом, имеем

rf/ = 5в5 - 565, = - 55Я + 55Я = О,

что и доказывает теорему.

Пусть, наоборот, линейная форма

JmPi-Pibqi)

является интегралом; положим

bqi=Qi, bpitPi,

где г означает бесконечно малую постоянную. Мы утверждаем, что Pi -\- Ьр, Ч( + Ч* есть система решений, бесконечно близких к решениям pi, qi. В самом деле, имеем, по предположению,

г i г i

Заменяя , их значениями (49), получим

i i % г

Это соотношение должно иметь место, каковы бы ни были bpf и bq; следовательно, получаются уравнения:

= 0,



т. е. Ьд, Ьр,- удовлетворяют уравнениям, полученным путем вариирования уравнений (49).

Отсюда вытекает следующее следствие.

Пусть Ф(91, 92.....д„, Рх, Pi.....р„, <) -интеграл уравнений (49).

Очевидно, что ЪФ будет интегралом, зависящим от двух бесконечно близких решений; но

следовательно, по предыдущей теореме о 9 = е - , Ь р-= - s .3- будут

"Pi oqi

решениями уравнений в вариациях.

дФл дФл

То же и с другим интегралом Ф1: Vq = с , 5"л = - е -i будут

"Pi oqi

также решениями уравнении в вариациях. Но мы видели, что сумма

{bqib"pi-bp,b"qi) является интегралом. Следовательно, сумма

2 \dpi dqi dqi Ipl)

является тоже интегралом, и мы вновь получаем теорему Пуассона.

Мы закончим главу ознакомлением с новыми понятиями, введенными Пуанкаре под названием интегральных инвариантов.

503. Интегральные инварианты. Вернемся снова к системе дифференциальных уравнений (33): = Х{. Условимся рассматривать х,, Хч,.....х

как координаты точки в пространстве п измерений и t-как меру времени. Уравнения (33) определяют семейство кривых (С). Какая-нибудь кривая и движение по ней определены, если задано положение xJ, х\, .... х движущейся точки в момент t. Обозначим через Р" это начальное положение и через Р-положение, которое займет движущаяся точка в момент t

Вообразим, что мы заставляем точку ро описывать некоторое й-мерное подпространство £; тогда точка Р также опишет некоторое й-мерное подпространство Е. Например, если точка Р* описывает дугу кривой £j, то точка Р опишет другую дугу Е,.

Остановимся сначала на этом случае; условимся обозначать символом S вариации, соответствующие перемещению Р по дуге Е, или, что приводится к тому же, перемещению Р» по дуге

Рассмотрим линейное выражение вида

El -f За 5хз + ••• +Е„Ьх„, где Ej суть функции от х,, Хч, .... х„ и от , и возьмем интеграл

/= JH18X1 + H2SX2+ ... -f а„зх„

н точно таким же образом



Xi, Хп, Ьх,, Ьх„)

и условие, нужное для того, чтобы 1 было интегральным инвариантом, приведется к тому, что / должно быть интегралом, зависящим от двух бесконечно близких решений х,, х, ..., Хп я xi + bx,, х„+8х„.

Следовательно, вопрос об интегральных инвариантах, представляемых простыми интегралами, приводится к вопросу об интегралах от двух бесконечно близких решений.

Но можно также представить себе интегральные инварианты, выражающиеся кратными интегралами.

Допустим, например, что точка Р" описывает ограниченное подпространство двух измерений тогда точка Р опишет другое подпространство £2-

Обозначим по-прежнему через 8 перемещения, осуществляемые в этом пространстве, и рассмотрим двойной интеграл

fJMabxt Ьхк, ik

распространенный на Е, где Мце-функции от Xi, х„ и от t. Когда точка ро описывает пространство координаты л:, ..., дг будут функциями двух параметров X и ц и величины х,, х будут функциями t и этих

ВДОЛЬ дуги Е,. Переменные х,, Хг.....х„ будут функциями t и начальных

координат х, Х2, .... х точки Р». Если эта точка Pq перемещается по дуге £j, то х будут функциями некоторого параметра X, который принимает значения Xq и Xj на концах дуги. Следовательно, величины Х{ в интеграле / будут также функциями X и f на дуге Е,, причем t при интегрировании рассматривается как постоянная.

Будем теперь изменять t. Тогда пределами интеграла / останутся Xq и Х, но так как подынтегральное выражение зависит от t, то /, вообще говоря, будет функцией от t. Может случится, что эта функция от t приведется к постоянной, какова бы ни была дуга Е. Тогда говорят, что / является интегральным инвариантом.

Для того чтобы / было интегральным инвариантом, необходимо, чтобы ~

равнялось нулю, какова бы ни была дуга интегрирования. Так как пределы интегрирования Xq и Xj не зависят от времени, то отсюда следует, что производная подынтегрального выражения должна быть равна нулю:

(Si5xi+ ...-f.E„8x„) = 0.

Другими словами, для того чтобы / было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы выражение

SiSxi + SgSx-f. ... -f 5„8лг„

было интегралом, зависящим от двух бесконечно близких решений.

Если вместо элемента, линейного относительно 8, взять элемент, являющийся корнем т-й степени от однородной формы х,,х„, Ьх,, ..., 8jc„) относительно Ь порядка т, то можно таким же путем рассмотреть криволинейный интеграл





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [133] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037