Главная Промышленная автоматика.

Y Y, Yp Z,~ Z2~ " Z

du, du„

= =...==rf., (39)

где Y, Y,.....Yp, Z,, Zp, U,, t/g -функции переменных у, у,, ...

z,, ..., и,.....Uq-A t.

Условие (38), так как здесь f =Zibyi-by, обратится в следующее:

b[ZiYi-Y -V{Zibyi-Yibzi) = Q. (40)

\ 1 /г

Положим

тогда получим

H=ZiYi-Y; (41)

Ш + 2 (2i Sy - Г/ога = 0. (42)

что может быть написано еще так:

bXiij+bxi-XfbEijO. (38)

Уравнение (38) легко приводит к доказательству изящной теоремы Кёнигса (Koenigs, Comptes, rendus, декабрь 1895), который установил связь между линейными интегралами вида / и приведением к каноническому виду произвольной системы дифференциальных уравнений.

Линейные дифференциальные формы вида / были предметом многочисленных исследований и особенно исследований Пфаффа (Pfaff), задавшегося целью привести их к некоторым каноническим системам (См. Дарбу, Builetin des Sciences mathematiques, т. XVII, 1882, стр. 16; Гурса, Lefons sur la probleme de Pfaff, Paris, 1922). Этим же формам посвящены работы Е. Картана (Е. Cartan).

Действительно, доказано, что каждая линейная дифференциальная форма может быть приведена к одному из двух видов:

•iSyi + 2Sy2+ ... +грЬур-Ьу, (А)

1 оу1 + гз оуа-f ... +Zpbyp, (В)

где переменные у, у,, ур, г,, Zp независимы между собой. Получение этих приведенных видов требует интегрирования некоторых дифференциальных уравнений, для изучения которых мы отошлем к статье Дарбу.

Допустим теперь, что мы применили процесс приведения к форме /, в которой t рассматривается как постоянная и что мы пришли, например, к виду (А), содержащему 2р -j-1 переменных.

Может случиться, что +1 меньше чем п. Тогда, присоединяя

к у, У1.....Ур, Z,,Zp переменные и,, Uq, в количестве q = п - 2р-\,

мы можем принять в качестве новых переменных величин у, г и и.

Тогда в этих новых переменных система дифференциальных уравнений примет вид

dy dy, dyp dz, dZ2 dZp



Следовательно, система дифференциальных уравнений (39) имеет вид и еще

du, due

- U„ .... = (45)

Мы прищли таким образом к канонической системе (43) совместно с системами уравнений (44) и (45).

Если вместо вида (А) мы приведем / к виду (В), то, поступая точно так же, мы придем к условию

8 (2 «0+2 - < i)=о-

Полагая

получим, как и выще,

* dyj * dzi так что Н удовлетворяет здесь уравнению

т. е. Н является однородной функцией первого порядка однородности относительно Z.

Тогда система дифференциальных уравнений обратится в систему уравнений

dn дН dZi dH dt ~ dZi dtdi

совместно с уравнениями

du, dUf,

It-..... = «- (*>

Можно легко доказать, что если п число нечетное и если /- произвольный интеграл, линейный относительно переменной, то получится вид (А). При этом /г = 2р-~1. Если, наоборот, п - четное, то это будет вид (В) и /2 = 2р. Таким образом, в общем случае добавочной системы уравнений (45) или (47) не существует, и мы приведем уравнения к каноническому виду совместно с уравнением (44) или без него в зависимости от п.

Так как это равенство должно иметь место при любых 8, то должно быть, после чего получим



или, вспоминая, что получим

2р + 1

dXi = Xidt, dyu+dt, dy=i-HJrYzj,)dt,

Таким образом, "сумма 2 ЕЛ приводится к главной функции Н. Если Н не зависит от времени, то, как мы знаем, Н является интегралом..

Таким будет случай, когда X или S не зависят от времени.

Заметим, что во всех случаях уравнение (44) приводится к квадратуре.

Аналогичные замечания имеют место и при п четном.

502. Теорема Пуассона. Рассмотрение интегралов, зависящих не от двух, а от трех бесконечно близких решений, приводит, как это показал Пуанкаре, к теореме Пуассона новым путем.

В самом деле, рассмотрим каноническую систему

dt-dpi dt- dqi (-12.....n). (49)

Пусть Рь Рп 4i.....9„-система решений и пусть Pf+bpi,

Pi~\-Pi> + Sj - две системы решений, бесконечно близких к

первым.

Билинейная форма

f=(bpibqi-bqibpi) i

является интегралом. В этом можно убедиться, исходя из общего тождества, имеющего место для линейных дифференциальных форм. Пусть

Bb = UibXi

- линейная дифференциальная форма. Положим также

B,,EibXi

Возьмем три системы дифференциалов d, Ь, Ь. Имеем тождественно

Возьмем случай нечетного п и допустим, что дан интеграл который после приведения к каноническому виду принимает вид

г-2р + 1 к=р

В частности, если Е не зависят от переменной t, то имеем

2р + 1 р

2 3,idx==zudyk - dy 1 1





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037