Главная Промышленная автоматика.

(B-Oiqr-Ktf) (C-A)(,rp-KY1) (A-B)(pq-KiY)~

n - gf pf - n qi-pY

которые, как легко видеть, имеют множитель М = I. Следовательно, достаточно знать четыре интеграла, чтобы привести задачу к квадратурам. Но мы уже знаем три интеграла: во-первых, интеграл энергии

Ар + Bq-i -f Сг2 + /< (>1y2 -f By" + Cy") = /, (29)

во-вторых, интеграл площадей

Ap-i.Bq-i + Cn" = k, (30)

и, в-третьих, интеграл

7 + y-ff= const. = 1, (31)

где / и /i - две произвольные постоянные. Постоянная уравнения (31) должна быть принята равной единице.

Следовательно, если имеется четвертый интеграл, то задача закончится квадратурой. Но легко убедиться путем проверки, что

Aip-i 4- ваа 4- С2г2 (вС-{ -f CAf + ABf) = U (32)

является четвертым интегралом.

Таким образом, задача приводится к квадратурам. Исходя из предыдущих формул, легко доказать, что это будут квадратуры от алгебраических полных дифференциалов. К этому результату пришел Кобб (Kobb) в статье, помещенной в Bulletin des Sciences mathematiques, т. XXIII. Было бы интересно произвести более глубокий анализ этих интегралов, но мы это здесь не делаем *).

Мы обязаны Стеклову интересным замечанием (Conrptes rendus, т. CXXXV, 1902), что уравнения задачи Бруна могут быть приведены к уравнениям движения твердого тела в бесконечной жидкости, установленным Клебшем (Clebsch). Следовательно, любой результат, найденный в одной из этих двух задач, может быть распространен на другую.

*) Брун ввел в выражение рассматриваемой им силы некоторую функцию от расстояния между неподвижной точкой и силой. Но эта функция естественно выпадает из уравнений и не играет никакой роли.

Мы получаем, таким образом, шесть дифференциальных уравнений, определяющих р, q, г, 7, y, y" в функции времени. Допустим, что мы проинтегрировали эти уравнения. Обозначим через О, 9, i/ углы Эйлера и допустим, что неподвижная ось Ог, перпендикулярна к притягивающей плоскости, а две другие неподвижные оси Ох, и Оу, лежат в этой плоскости. Тогда, как известно,

y = sin !f sin 9, y = cos 9 sin e, y" = cos 6,

так что углы 9 и в будут известными функциями времени. Что касается угла то он получится при помощи квадратуры из уравнения

г = ф cos е + 9. (27)

Следовательно, достаточно проинтегрировать уравнения (25) и (26).

Время можно оставить пока в стороне, так как оно не входит явно в уравнения (25) и (26). Оно определится при помощи квадратуры. Мы будем поэтому заниматься только пятью уравнениями:

А dp Bdq Cdr



VI. Свойства интегралов. Интегральные инварианты 500. Интегралы. Рассмотрим систему уравнений

dx, dX2 у dXn у ,00.

где Х,, Х.....Х„ - функции от t, jf,, Х2, ....

Пусть \(t, х„ Хп), hXt, х„ Хп).....e„(i;, -си-

стема п независимых интегралов. Для каждой системы решений уравнений (33) интегралы Ь,, бд, е„ имеют постоянные значения а,, а., а« и различные системы решений уравнений (33) отличаются значениями этих постоянных.

Пусть х,, Х2, х„ и х,, Xj, Хп - две различные системы решений.

Если обозначить через х[, х2.....Хп результат замены в Х,, Х ..., Хп

переменных х переменными х, то переменные х удовлетворяют системе ураниений

dx. , dx, , dx„ ,

W = -dT---Ж-п- (34)

Если одновременно рассматривать системы уравнений (33) и (34), то

полученная таким образом система допускает интегралы X {х,, Х2.....

X,, х,, хп, <), В которых имеются две группы переменных: х,, Хо, Хп и х[, х,, ..., хп- О таком интеграле мы будем говорить, что он зависит от двух различных решений системы (33). Возьмем простой пример точки, притягаемой в плоскости, неподвижным центром пропорционально расстоянию.

Уравнения задачи имеют вид

dx, dxa

dx\ , dx2 2

где jTj, jr- прямоугольные координаты точки. Интегралы задачи будут, вообще говоря, функциями двух решений единственной системы

dx, dxo -

Можно также представить себе интегралы, зависящие от трех, четырех и большего числа решений.

Интересным и важным будет тот случай, когда интегралы зависят от нескольких бесконечно близких решений.

Пусть Xi, Х2, х„ -система решений уравнений (33) и Xi-\-bx,, Х2-\-Ьх2, Хп-\-Ьхп - система решений, бесконечно близкая к первой. Имеем

+ = Xi(t, х, -f «дг,, Х2 + ЬХ2.....ХпЛ-Ьхп) (/ = 1,2.....п),

и следовательно, принимая во внимание уравнение (33), получим

*-ff--+f -2+...+ga.„ ,= I,2,...,., (35,



dt dt 4 dXi dt Ud {bXi) dt i i

откуда получается условие

i ik

Это условие будет необходимым и достаточным для того, чтобы / было интегралом. Оно должно иметь место, каковы бы ни были вариации Sx< И каковы бы ни были х и t. Допустим, в частности, что функции X не зависят явно от t. Легко показать, что если в функции / заменить Sxf величинами Xi, то полученная таким образом функция F будет интегралом.

В самом деле, функция fit, хх.....Хп, Ьх,.....Вх„) обратится в функцию

F==f(,t, Хх.....х„; Хх, Хп). Следовательно, имеем

df df у а/ rfxj у df dXj dt dt 1л dXi dtZi dXi dt

dXiyd XidXk yd Xi.

dt Zdxu dt ludxu

dt -liZtWiZidXidl"-

i ik

Это выражение равно нулю, так как правая часть представляет собой результат замены в левой части равенства (36) величин 5xj пропорциональными

им величинами Xi. Итак, - = О, и функция F есть интеграл.

501. Теорема Кёнигса. Рассмотрим случай, когда / является линейной формой:

/=HiSxi-f-S2 8x2-f ... +S„8x„,

где - функции от Xj, х?.....х„ и от t.

Чтобы выразить, что / является интегралом, напишем

и, следовательно.

Эти уравнения, позволяющие исследовать решения, бесконечно близкие к заданному решению, были введены Пуанкаре, который назвал их уравнениями в вариациях решений системы (33).

Рассмотрим теперь однородную функцию относительно Ьх,, Sx,, 8х„, коэффициенты которой будут функциями от Хх, Хг, х„ и t. Такая функция будет интегралом, зависящим от бесконечно близких решений х и х -- bxj, если ее полная производная в силу уравнений (33) и (35) будет равна нулю. Пусть /- эта функция. Имеем

rf/ , У а/ rfXi у df dbxi dt dXi dt





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0044