Главная Промышленная автоматика.

Три уравнения, выражающих теорему моментов количества движения, И одно уравнение, выражающее теорему кинетической энергии. Это будут семь общих уравнений движения, применимых к произвольной механической системе. Шесть первых уравнений содержат только внещние силы. Седьмое уравнение, уравнение кинетической энергии, содержит в общем случае и внещние и внутренние силы.

III. Теоремы кинематики для вычисления моментов количеств движения и кинетической энергии


347. Определение относительного движения системы вокруг ее центра тяжести. Рассмотрим систему, движущуюся относительно неподвижных осей Oxyz. Проведем через центр тяжести G ЭТОЙ системы оси Qxyz, параллельные неподвижным осям (рис. 193). Относительное движение системы по отношению к осям Qxyz называется относительным движением системы вокруг ее центра тяжести.

348. Вычисление суммы моментов количеств движения относительно неподвижной оси. Вводя это относительное движение, можно высказать следующую теорему:

Теорема. Сумма моментов количеств движения относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту количества движения всей массы системы, предполагаемой сосредоточенной в центре тяжести, увеличенной на сумму моментов количеств движения относительно оси, параллельной первой и проходящей через центр тяжести, причем последняя сумма вычисляется для относительного движения вокруг центра тяжести.

Доказательство непосредственно вытекает из элементарных формул, касающихся преобразования осей координат.

Обозначим через х, у, z координаты какой-нибудь точки системы относительно неподвижных осей, через х, у, г - координаты той же точки относительно осей Ох, Оу, Ог, проведенных через центр тяжести параллельно неподвижным осям, и через \, i\, С - координаты центра тяжести. Тогда, согласно формулам преобразования осей, имеем:

Рис. 19а



Ho центр тяжести является началом подвижных осей. Следовательно,

кроме того.

так как величины тх и ту равны нулю и. следовательно, их производные тоже равны нулю.

Ввиду этих соотношений и ввиду того, что в первой сумме

правой части можно вынести за скобку множитель -).*

причем т = Ш, мы получим уравнение

Это последнее уравнение выражает теорему, которую нужно было доказать, так как первый член 9№S-"щ) момент количества движения относительно оси Oz всей массы, сосредоточенной в центре тяжести G. а второй член т {х --у есть

сумма моментов количеств движения относительно оси Gz, параллельной оси Oz, вычисленных для относительного движения вокруг О.

Ту же теорему можно выразить в следующей форме:

Кинетический момент системы относительно точки О равен кинетическому моменту относительно точки О всей массы в предположении, что она сосредоточена в центре тяжести, сложенному с кинетическим моментом системы в ее относительном движении вокруг центра тяжести, взятым относительно этого центра тяжести.

Вычислим, например, сумму моментов количеств движения точек системы относительно оси Ог. Получим:

=Sh«+)(g+)-»(i+(i+f)]=



4ШМ\

dt )

849. Вычисление кинетической энергии. Для вычисления кинетической энергии существует теорема, аналогичная предыдущей.

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна кинетической энергии, которою будет обладать вся масса, сосредоточенная в центре тяжести, сложенной с кинетической энергией системы в ее относительном движении по отношению к осям постоянного направления, проведенным через центр тяжести.

Воспользуемся теми же обозначениями, что и в предыдущем пункте. Напишем формулы преобразования координат:

x = k~]-x. з; = 7) + у, 2 -С + У. Для квадрата абсолютной скорости точки получим

=(ё)+Ш+(§)=№)"+()+

.,d%dxl djdf ddj ~ dt dt < dt dt < dt dt •

откуда, обозначая через V скорость центра тяжести и через г» относительную скорость точки М, получим

Умножим это уравнение на " сложим почленно аналогичные уравнения для всех точек. Тогда

-dtL4t+dtli-dr-

Коэффициенты при , равны нулю в силу равенств

2 тх = 0. 2 ту 0. 2 «г 0.

В этом МОЖНО убвдитьея. написав

S m оИ X S - + ) X

и заметив, что





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0042