Главная Промышленная автоматика.

Пусть теперь М - произвольный множитель для переменных х,, Хо,.....

а Мо - по-прежнему множитель тождества (11). Как мы показали,

М = М,

где X - интеграл. Следовательно, имеем

Р (Уь Уъ •-Уп) D (У1, у2.....у„) о

Но так как М, как мы только что доказали, является множителем для переменных у,, уг,...,Уп а с другой стороны, X есть интеграл,

то М будет множителем для переменных у, у2.....у„.

D(xi.....Хп)

Итак, окончательно, М-щу-есть множитель для новых переменных. Отсюда вытекает теорема:

Если М есть множитель для переменных х,, х.....х„, то произведение М на функциональный определитель /"является мно-

(Ут.....Уп)

жителем для новых переменных у,, уд.....у„.

Эта теорема является основой всей теории множителя.

495. Использование множителя. Допустим, что известны k независимых интегралов вд, 6;. Выберем новые переменные у,, у у», среди которых k последних связаны с переменными х формулами:

)»-А+1 = в1, )п-А+3=92..... yn=h-

После этого дифференциальные уравнения упрощаются, так как теперь Yi = А (yt) = О для всех i> п - k, и мы получаем следующие уравнения:

йу2 ЛУп-к йуп-к+1 йУп Yi Ка ••• Yn-k О ••• О •

Мы можем привести эту систему к п - k - 1 первым уравнениям

dyi йу2 йуп-к ..о.

ТГ- К2 - ••• -ivT

при условии, что Уп-к-ь Уп-к-г, ••< Уп рассматриваются как численные постоянные.

Если бы с самого начала мы знали множитель М для переменных х, то

могли бы составить произведение М = М " " "", которое было бы

•-КУх.....Уп)

множителем для переменных у, так что получили бы

Таким образом, М, где y„ A+i,Уп рассматриваются как постоянные, будет множителем для укороченной системы (12).

496. Последний множитель. Допустим, например, что известны /г -2 интегралов, так что для завершения интегрирования не хватает только одного интеграла. Система (12) приводится к одному уравнению:

rfyi йуз П - Y2

или же

Ггйу1-Г1йу2 = 0.



Если бы был известен интегрирующий множитель (j. ятто у;1авпе1:ия, то мы получили бы последнее недостающее конечное ypai- .i::, к..п1;сав

J* ц (2 d-jx - rfy,) = const.

Ио уравнение (13), которое здесь сводится к d{MYx) , diMYo)

= 0,

выражает, что М и является таким интегрирующим множителем. Отсюда наименование последний множитель, которое Якоби дал этой функции М.

Таким образом, знание множителя позволяет ограничить интегрирование задачи нахождением п - 2 интегралов; простая квадратура позволит после этого составить последнее недостающее уравнение.

497. Пример. На практике, чтобы извлечь выгоду из известных интегралов, является естественным исключение некоторых переменных при помощи этих интегралов.

Так как важно прийти к определенному результату, то мы представим это исключение в следующей форме.

Пусть Xnk+v Хп-к+2 •••> Хп представляют собой k переменных, которые мы желаем исключить, используя k известных интегралов 6, б., ..., 6. Это исключение сводится к такой замене переменных:

У1 = Хх,

Уз = Х2,

Уп-к = Хп-к, „

Уп-к+1 = fli (Хх, Хз.....X,,).

Уп-к + 2-h (Хх, Хз.....Хп),

Уп = h (Хх, Х2.....Хп).

Мы допускаем, правда, что последние к уравнений разрешимы относительно к переменных х„ й+1, х„, т. е. что функциональный определитель, составленный из к функций 8 относительно этих переменных, не равен нулю. Но такое предположение допустимо, так как если бы все определители с к столбцами, взятыми из таблицы

дЬо

дхо,

были равны нулю, то интегралы 8 были бы связаны одним соотношением и

не были бы независимыми. Следовательно, из этих определителей по крайней

мере один не равен нулю, и мы можем положить, что нулю не равен опре-

0(8,.....bk)

делитель --

D(Xn-k+x.....Хп)



Dixn-k+t. Хп)

Если это так, то с новыми переменными у,, уз.....у„ дифференциальные

уравнения принимают вид

dyi dy2 dyn-k аУп-к+1 dy„ Vl V2 - Yn-k О ••• О •

Заметим, что у, уд, Уп-к являются первоначальными переменными

Хх, Х2.....Хп-к- Следовательно, Y, есть А (х,), или, что то же, Х,, но

такое Хх, в котором с помощью равенств (14) переменные Хп~к+х.....-ге

заменены их значениями в функции от Хх, Х2.....Хп-к и новых переменных Уп-к+ъ •> Уп рассматриваемых как постоянные. Условимся функцию Х,, в которой произведена указанная подстановка, обозначать через (Хх). Такой же смысл имеют обозначения (Хо), (Х), ... Мы получим таким образом укороченную систему

dXx dx2 dXn-k

(Хх) (Х2)- ~ (Хп-к)

и согласно общей теореме, если М есть множитель для первоначальной системы дифференциальных уравнений, то дробь

Д(б1, 62.....Ок)

D(Xn-k+i.....Хп)

будет множителем для укороченной системы (15).

Допустим, например, что известен только один интеграл и что мы желаем использовать его для освобождения от одной переменной х„ и для укорочения системы дифференциальных уравнений. Если есть этот интеграл

и если М есть множитель первоначальной системы, то - будет мно-

жителем для системы, которая получится после исключения переменной х„ при помощи интеграла.

Якоби дает следующий пример.

Дано дифференциальное уравнение

S-=/(., У). (16)

Если ввести в качестве переменной величину у = , то это уравнение будет эквивалентно следующей системе:

dy dx

f(x,y) у 1 •

Заметим также по этому поводу, что функциональный определитель D{xi, X,, х„) Р>(Уь У2. Уп)

является обратным к определителю " " " , который вследствие

и (Ху, Х2, . . ., Хп)

частной формы уравнений (14) приводится как раз к определителю

D(Ui, 62, h)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0109