Главная Промышленная автоматика.

«1

««

" дх„

где и,, «3,..., и„ обозначают п произвольных постоянных. Раскрывая этот определитель, получим:

D = ,u, + 2U2+ ... +Д„м„.

Отсюда видно, что &i = Заметим теперь, что х,, х, Хп входят в

только через производные , за исключением производных -~ . Положим

для сокращения -~ = а, д. Имеем ах 1"

дх 24 да 3 dxi 2u да дх

откуда

5=У4 = уу.з

дЧ дх дх

Сумма 5, для которой нужно доказать, что она равна нулю, является

таким образом линейной однородной функцией вторых производных --;

дхгдх

кроме того, / и р всегда различны. Следовательно, группируя подобные члены, получим

у у / 5Ai аДр \ 54

lJcP / дхдх-

а i3

Теорема будет доказана, если мы покажем, что

= 0.

"а, 3 ""-а, i

Но левая часть уравнения (7) может быть написана еще так:

dD дЮ

дщ да + ди да "

Если мы рассмотрим в определителе D первую строку и ту, которая содержит функцию б,, т. е. (а-[-1)-ю строку, а Затем столбцы 1-к и р-й, то члены, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, будут

следующие: щ, >?- = % i- = %

Отсюда на основании хорошо известных свойств определителей вытекает, что D может быть написано в виде

Чтобы доказать это тождество (6), рассмотрим определитель



откуда вытекает справедливость формулы (7) и теоремы, выражаемой тождеством (6).

Если сопоставить тождество (6) с формулами (5), то мы увидим, что функция М удовлетворяет тождеству

2-- = 0. (8)

Таково уравнение множителя. Для расширения этого понятия наименование множителя дают любому решению уравнения (8). Легко доказать следующую теорему.

Частное двух множителей, т. е. двух любых решений уравнения (8), является интегралом.

Пусть, в самом деле, М к М - два множителя. Из уравнения (8) имеем

и точно так же

Умножив равенство (9) на -М, а последнее на iW и сложив результаты, получим

S--(-«-lf)-»

б"

Следовательно, действительно является интегралом. Наоборот, произведение множителя на интеграл есть также множитель. Примечание. Если сумма Q = равна нулю, то iW = 1 является

множителем.

494. Инвариантность множителя. Для последующего важно рассмотреть вопрос о замене переменных. Покажем, что каждый множитель является инвариантом такой замены, но инвариантом относительным, причем в том смысле, что если умножить его на определитель преобразования, то он будет множителем для новой системы переменных.

Обозначим через у,, У2,.... Уп новые переменные и введем временно вспомогательную переменную t, дифференциал которой dt равен общему

значению отношений Уравнения (1) напишутся при этом так:

-~=Xi (; = 1, 2.....п). (1)

где R уже не содержит членов и, ft , ft , а /?, содержит эти члены линейно. Теперь достаточно продифференцировать, чтобы найти

А,. Л„ --



(10)

(9) = 21

dXi i

дЬ да ду1 (?fl ду2 д9 дуп у ду дЬ

dxi " dyi dXi 5у dXi + •" + ау„ ~дх 2u дхду

и, следовательно.

dxi ду - Zif ду,

Таким образом, А (8) может быть выражено через у, если применить к уравнениям (10) то же правило, которое позволило построить функцию А{%) при помощи уравнений (1). Заметим, что это, не было бы верно, если бы вместо того, чтобы прицять функции Yi равными выражениям А (у,-), взять их просто пропорциональными этим выражениям.

Пусть теперь в, 82,..., e„ i-система (л-1) независимых интегралов, 8 - произвольная функция и Л1о - множитель, который удовлетворяет тождеству

Произведем замену переменных. Тогда, если у,, Уь---Уп - новые переменные, то по известному свойству функциональных определителей получим

Д(е, в,,..., е„ о Д(8, et.....в.р рх,, х,..., х)

D (Уь У2.....Уп) D {х,, Х2.....Хп) D (У1, уз.....у„) *

Следовательно, тождество (11) приводится к следующему:

D(xi, Х2.....Хп) .... Д(е. et,..., e„-i)

" Diyx. 3-2.....Уп) Diyi, у2.....Уп) •

Это доказывает, что в новых переменных функция

Р(Ух, У2..... Уп)

является множителем.

Тогда имеем:

dyi dx ду dj dyt dxn

dt дх, dt дх, dt dXn dt

или, принимая во внимание уравнения (Г):

dyi у dyi j y dyi . . , ,

Следовательно, система дифференциальных уравнений обратится в следующую:

dy dy2 dyn

Ух ~ ~ Г™ •

где положено Yi - А (yi).

Покажем, что функция А (8) является инвариантным выражением. В самом деле,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036