Главная Промышленная автоматика.

dx,

Майер предлагает в таких случаях говорить, что эти силы имеют потенциал или силовую функцию W.

491. Задача Майера для случая внутренних сил. Допустим, что все силы системы являются внутренними, т. е. что они происходят исключительно от действий одних точек системы иа другие. Становясь на очень общую точку зрения, Майер не предполагает, как мы делали во всем этом курсе, что внутренние силы происходят исключительно от попарных взаимодействий точек, т. е., что эти силы попарно равны и противоположны друг другу, а допускает только, что все внутренние силы в каждый момент времени удовлетворяют шести условиям равновесия твердого тела:

Ч=П 1=П v=n

2, = 0, J,Y, = 0, Z, = 0, (2)

V=l V = l V = l

(y,Z,-z,Y,) = 0. (z,X,-x,Z,) = 0, (x,Y,-y,X,)0, (3)

v=l v = l v=l

так что если бы система в какой-нибудь момент t затвердела, то внутренние силы оказались бы в равновесии. Установив это, Майер решает следующую задачу.

Найти наиболее общие выражения внутренних сил Х„ Y„ Z„ deu-ствующих на dвuжyщyюcя систему и ydoвлemвopяющux deyM cлedyющuм условиям: во-первых, силы имеют силовую функцию W, во-вторых, они ydoвлemвopяюm в кaжdый момент времени условиям равновесия meepdozo т,ела.

Мы не можем воспроизвести здесь анализ Майера и ограничимся только формулировкой полученных им теорем.

I. Наиболее общее выражение сил (1), ydoвлemвopяющux moжdecmвeннo условиям (2), получится, если принять за W произвольную функцию времени и разностей

x, - Xi, У-, -У1, z, - z„

I I I I I I = 2, 3.....п).

х, - х,, у, -у,, z, - z,

И. Наиболее общие выражения dля сил (1), ydoвлemвopяющue то-жdecmвeннo условиям (3), получатся, если принять за функцию W произвольную функцию времени, расстояний точек системы от начала, их взаимных расстояний и первых npouзвodныx этих deyx eudoe расстояний по времени.

Соединяя эти две теоремы, получаем ответ на поставленную задачу.

111. Наиболее общие выражения сил (1), ydoвлemвopяющue условиям (2) и (3), получатся, если принять за W произвольную функцию времени, взаимных расстояний точек системы и npouseodubix этих взаимных расстояний по времени.

действует в момент t сила с составляющими:



или, что то же самое.

дг dt дг

где W-функция одних лишь величин г и г-

Мы отсылаем по этому вопросу также к заметке Мориса Лёви (Maurice Levy, Comptes rendus, т. XCV.)

V. Множитель Якоби

Мы даем в этих последних параграфах некоторые общие указания о множителе Якоби и об интегральных инвариантах Пуанкаре. Мы примем тот же способ изложения, которому следовал Кёнигс (Koenigs) в своих лекциях в College de France, с тем, чтобы одновременно познакомить и с важными результатами, принадлежащими этому ученому (Comptes rendus, декабрь 1895, январь 1896).

492. Определение множителя. Известно, что если дана система дифференциальных уравнений

ddxo, dXn Хх Х " Хп

Движение центра тяжести будет тогда прямолинейным и равномерным и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из координатных плоскостей.

IV. Для того чтобы существовал интеграл энергии, т. е. для того, чтобы сумма

v = l

была полной производной по времени некоторой функции координат, их производных и времени, необходимо и достаточно, чтобы силы имели силовую функцию W, не зависящую от t. Тогда интеграл энергии будет

т х I dW , > dW , , dW \ ff, \ ду, дг, I

Если функция W удовлетворяет условиям теоремы III и не содержит t, то этот интеграл напишется так:

где г,,., обозначает расстояние между точками х, у. г. и х„ у„ z, и где г, есть производная от г, по времени.

Возьмем, например, систему, образованную двумя точками, находящимися на расстоянии г друг от друга.

Взаимные действия этих двух точек подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если потребовать дополнительно, чтобы они имели силовую функцию W и чтобы существовал интеграл энергии, то нужно будет принять для силы взаимодействия R выражение

dW d dW К -



0(х,,хг.....xl) dxi

так что тождество (4), в котором 8 есть произвольная функция от х,, Хо, х„, эквивалентно п соотнощениям

MXi\i (1=1, 2, п). (5)

493. Уравнение множителя. Исходя из этих соотнощений, легко образовать дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция М и в котором интегралы 6,, 8,,..., Qn-i, предполагаемые известными, оказываются исключенными. Действительно, Якоби заметил, что определители удовлетворяют тождеству

где Хг - функции переменных xi, Хо.....Хп, то их первым интегралом

называется любая функция Ь {х,, ..., Хп), которая остается постоянной при всех Xi, удовлетворяющих системе (1). Следовательно, линейное относительно дифференциалов dx уравнение

будет следствием уравнений (1). Необходимое и достаточное условие этого выражается уравнением

Левую часть этого уравнения обычно обозначают через А (6).

Если известны п - 1 независимых между собой интегралов б, 62.....п-ь

то всякий другой интеграл будет функцией этих же величин в, 02.....п-ь

и наоборот, любая функция от б, 6,.....e„ t будет интегралом. Поэтому,

если обозначить через 6 какой-нибудь произвольный интеграл, то функциональный определитель

Р(е, 6t, б„ о

D{Xi, Х2, Хп)

равен нулю и, наоборот, если 6 обращает в нуль этот определитель, то это значит, что е есть функция от в, 62, в„ 1 и поэтому 8 есть интеграл.

Вследствие этого, если известна система п - 1 независимых интегралов, то уравнение (2) может быть заменено уравнением

d(xi, Хг.....Хп)

Отсюда можно сделать вывод, что существует такая функция М, что имеет место тождество

Якоби назвал эту функцию М множителем.

Р(в. бь е,, 8„ i)

Обозначим через минор определителя -- -=- , соот-

и (х,, Хг.....Хп)

ветствующий члену . Тогда имеем

/3(6,61.....fl„-i) Va db





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [127] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.005