Главная Промышленная автоматика.

da, ~ da. откуда, исключая Ь„ получим k-\ уравнений вида

d(Wi-Wo)

da, V . . . /

для определения постоянных а,. Допустим, что таким путем определена траектория, соединяющая обе точки Pq и Pi. Тогда значение deucmeuH edoAb этой траектории равно - Wq. Чтобы это доказать, обозначим через dW приращение, которое получает W, когда система в ее действительном движении вдоль рассматриваемой траектории переходит из точки д,, д, в точку д, + dq,, 92 + аГ92.....Як + Я- Имеем

dW dW , , dW f . , dw

dt ~ dq, 1 дд.Л dq Ho мы нащли, что в этом движении

dW dW dw

Следовательно,

dW / , , , г \\ дТ

= РуЯгЛ-РгЯгЛ- •• +Р&9а= 2j

1 fdSV

С другой стороны, имеем - 2\di) интеграла энергии

Следовательно,

dW = 2Tdt==- dS = Y2U + zh dS, А МЫ получаем действие вдоль рассматриваемой траектории в видд

(Л) (Pi)

Л = J /Ш + Л rfS = dW=Wi- Wo,

(П) (Ро)

достаточно знать полный интеграл W уравнения

(dW dW dW \ ,

содержащий, кроме Л, еще k- \ произвольных постоянных а,, .....u-v

Тогда траектории определяются уравнениями

Выразим, что траектория проходит через две заданные точки (91)0 • • • (*)о " (i)i Обозначив через IFq и значения интеграла W

в этих точках, мы получим для определения постоянных а., и Ь, уравнения

d.Wo дЩ .....



Т \a.ijqiq,

то условие ортогональности (7) обратится в следующее:

-Sft -f 5ft + ... + 5ft = 0. dq, dft

Сделав такие определения, мы можем непосредственно обобщить теорему, изложенную в п. 299 следующим образом. Если в уравнениях траекторий

dW dW . dW , = *i -XT-= «2..... -ATi- =*u

da, даг 6ft j

постоянным ft, ft, ft j придать определенные значения, a постоянные bi, Ьг.....6. j изменять произвольным образом, то полученные

439. Геометрические свойства траекторий. На рассмотренные только что системы можно распространить теоремы пп. 299 и 301.

Идя по пути, указанному Бельтрами (Beltrami, Memoires de IAcademie des Sciences de ITnstitut de Bologne, т. VIII, 1869), введем следующие определения.

Пусть дана квадратичная форма

fltS" = 2 ij dqi dqj

и рассмотрим два перемещения dS и 5S, соответствующие двум системам значений dq,, dq.....afft и bq,, bq.....bq дифференциалов параметров q

Обозначим через dS,bS угол между этими двумя перемещениями, определяемый формулой

dSbS- cos (flTsT&S) = 2 iJ 4i Цг Два направления dS и 5S взаимно-перпендикулярны, когда

aijdqibqj = Q. (7)

Если дано произвольное соотнощение

Р{41, ?2.....й)=0

то мы будем говорить, что оно определяет поверхность. Перемещения, происходящие по этой поверхности, удовлетворяют соотнощению

Sft + 8ft+...+Sft = 0. (8)

Мы уже называли кривой совокупность значений q,, ft, ft, являющихся заданными функциями переменного параметра t. Когда t увеличивается на dt, точка соверщает перемещение dS, определяемое прираще-" ниями rfft, rfft, rfft. Мы будем говорить, что кривая ортогональна к поверхности, когда перемещение dS, соверщаемое по кривой, ортогонально ко всем перемещениям SS, совершаемым по поверхности, т. е. удовлетворяющим соотнощению (8). Если положить

ЧГ- dt ..... ~аГ-1к.



1 VI /• 2 i 2 I /2\

=з2"Д- +у,

и пусть W есть функция: от t, от Зп неизвестных функций х„ у„ г,, переменного i и от их первых производных х,, у,, z[. Положим, как в принципе Гамильтона, что значения функций х,, у„ в моменты и t, заданы и постараемся выяснить, какими должны быть эти функции в течение промежутка времени - о. чтобы условие

(T-\-W)dt = Q

выполнялось для всех возможных вариаций функций х„ у, z.,. Вычисления, такие же как и в п. 485, приводят к Зл дифференциальным уравнениям второго порядка:

« dW d dW

дх, dt дх,

п dW d dW п.У, = ---

ду, dt ду,

„ dW d dW mz„ ----

dz, dt dz,

Это - отнесенные к ортогональным осям уравнения движения системы свободных материальных точек с массами т,, т, т, если на точку /п.

таким путем траектории будут нормальны к поверхностям, имеющим уравнение W = const. Для доказательства необходимо установить, что перемещения Ьд,, Ьд,.....89, совершаемые по поверхностям W - const, т. е.

удовлетворяющие уравнению

ортогональны к действительному перемещению dg, dg, dq, совершаемому no траектории. Другими словами, необходимо показать, что условие (10) влечет за собой условие ортогональности (9). Но это и очевидно из теоремы Якоби, на основании которой (п. 473)

dW dW

РЖ.....

а также из самого определения переменных р, согласно которому р., = - .

За более подробным исследованием этих вопросов мы отсылаем к книге Дарбу «Лекции по теории поверхностей», т. II, гл. VIII (Legons sur la theorie des surfaces de M. Darboux).

490. Расширение понятия силовой функции. Силовая функция, зависящая от времени и от скоростей. Выше мы рассматривали случай, когда силы являются производными от функции и, зависящей только от координат точек системы и времени. Майер (Mayer) следующим образом расширил это понятие, связав его с принципом Гамильтона (Mathematische Annalen, т. XIII, стр. 20).

Положим

/2 , /2 , /2ч





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037