Главная Промышленная автоматика.

так как dqi = qt dl и т. д. Обозначим через в квадратичную форму

Тогда

А = f yW-Vlh /2вЛ.

Для каждой кривой, соединяющей обе точки Pq и Я,, т. е. при определенном выборе функций/i,/2, . Д, это действие имеет определенное значение. Принцип наименьщего действия состоит в том, что если мы будем искать кривую С, с помощью которой нужно соединить обе точки, чтобы интеграл А был минимумом, то мы найдем, что эта кривая должна быть одной из траекторий, по которой будет действительно двигаться система, если сообщить ей движение из Ро таким образом, чтобы она достигла Р, и чтобы при этом постоянная энергии оставалась равной h. В этой формулировке мы назовем траекторией(в пространстве k измерений) кривую, определяемую последовательностью значений ft, ft.....ft, соответствующих действительному движению системы под действием заданных сил с силовой функцией U.

Для нахождения выражений q, ft.....ft в функции I, обращающих

интеграл А в минимум, необходимо написать, что вариация ЬА интеграла равна нулю, когда q,, ft, ft получают бесконечно малые вариации 8ft, Bft, Oft, которые являются произвольными функциями I, обращающимися в Нуль на пределах Хц и Xj. Это последнее условие вытекает из того, что значения q,, ft, ft при l - \ и X = Х задаются наперед. Когда q

изменяется на oft, его производная ft по X изменяется на oft. Следовательно, имеем

>2в

y2U-\-2h dq.

-bft W

Мы выписываем только члены, содержащие вариации параметра ft. Остальные члены получатся последовательной заменой индекса 1 индексами 2,3, ...,k. Выполним преобразование, проинтегрировав по частям члены с Имеем

dq, £8ft

bq, dl - d\

Следовательно, часть интеграла, содержащая 5ft, напищется так:

Y2U+2h д9, Y 20 dq.

Y2U + 2h дв

Л[2% dki

fY2U+2h d9 /28 dq,

Проинтегрированная часть обращается после подстановки пределов в нуль, так как при этих пределах равна нулю вариация 5ft. Таким же



образом преобразуем и остальные члены. Мы получим

y2U+2h dqi У2в dq,

(Y2U + 2h дВ V2B dq,

bqi+....

где мы выписываем лишь те члены, которые имеют множителем S. Чтобы интеграл А был минимумом, необходимо, чтобы ЬА равнялось нулю, каковы

бы ни были бесконечно малые функции bq,, bq.....5;;. Следовательно,

необходимо, чтобы по отдельности обращались в нуль коэффициенты при этих вариациях под знаком интеграла. Таким образом, мы получаем для определения кривой, обращающей в минимум интеграл, к уравнений, из которых мы выпишем только первое:

Y2Q dU , Y2U + 2h dQ (Y2U+2h dQ - dk A--=:i=- 3- dk - d

YU2h dqi у"2в dq, - \ у20 dq

50 \

Эти дифференциальные уравнения второго порядка определяют q,, q, qjc в функции X. Для определения постоянных интегрирования нужно написать, что при X = Xq параметры q,, qo, qu принимают заданные значения (91)0, (93)0, (%)о и что при X = Xi эти параметры принимают заданные значения (qi\ (92)1. •••• (9&)i- Но теперь легко видеть, что уравнения (3) определяют именно траектории системы в ее действительном движении. В самом деле, мы сейчас покажем, что заменой независимого переменного они приводятся к уравнениям движения в форме Лагранжа. Заменим X другой переменной t, определяемой соотношением

dt = --X=d\, (4)

Y2U + 2h

и обозначим через q[, q,, q производные от q,, q, (?ь взятые

по t. Положим, кроме того, что

и вспомним, что

1 flTSa IV [ > dqi\

Очевидно, имеем

de dT ( dt \2 de dl с

dqi -dqi\dl) dqi " dq[ dX

в чем можно убедиться, вычисляя эти выражения и замечая, что 9 = q Если в уравнения (3) подставить выражения (5) и заменить dk его



значением-- dt, которое получается из равенства (4), то эти

уравнения обратятся в следующие:

dt+idt

dqi dq.

- 0. (6)

Полученные уравнения являются как раз уравнениями Лагранжа. Уравнение же (4) показывает, что Л есть постоянная энергии, так как в силу 1 / dS\

того, что в равно-2(j , имеем >2в Л = dS и из уравнения (4) получаем

dS dt

= Y{U+h) или T=U+h,

что действительно является интегралом энергии.

Следовательно, теорема доказана: кривая, обращающая в минимум действие в промежутке от Pq до Pi, есть одна из действительных траекторий, соединяющих обе эти точки, и при движении вдоль этой траектории постоянная энергии остается равной Л. Таким образом, действительные траектории получаются из условия 54 = 0.

487, Геодезические линии. Если силовая функция U равна нулю, т. е. если на систему, предполагаемую неголономной, не действуют никакие силы, то говорят, что траектории являются геодезическими линиями, распространенными на fe-мерное пространство, обобщая наименование, данное кривым, описываемым на гладкой поверхности материальной точкой, на которую не действует никакая сила. В этом случае для получения траекторий нужно искать кривые, обращающие в минимум интеграл

(Рг) (Р,)--

Л = J dS = f у 2 flij dqi dqj . (П) (P.)

Нахождение движения голономной системы со связями, не зависящими от времени, под действием сил, имеющих силовую функцию U, может быть приведено к задаче о геодезических линиях. В самом деле, для нахождения траекторий этого движения нужно обратить в минимум интеграл

(Р,) .--

Л = / YW2h у 2 "iJ Ч* "4}

(Ро)

где функция и зависит от q,, q, qk- Рассмотрим форму, квадратичную относительно дифференциалов dqt,

dSl = (2f/+ 2Л) 2 dqi dqj = 2 bij dqi dqj.

Тогда задача приведется к нахождению минимума интеграла

f dSi= f у bijdqidqj,

(Р„) (Р„)

что является задачей о геодезических линиях.

488. Вычисление действия вдоль траектории. Согласно теореме Якоби, примененной к рассматриваемому случаю (когда связи не зависят от времени и существует силовая функция), для нахождения траекторий





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0049