Главная Промышленная автоматика.

JbTdt, после чего окончательно получим

т. е. 53 равно нулю, как это вытекает из уравнения (1), которое здесь применимо, так как Ьх, Ьу, Ьг являются перемещениями, допускаемыми связями, имеющими место в момент времени /.

485. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Принцип Гамильтона позволяет легко получить уравнения Лагранжа для голономных систем. Допустим, что положение системы зависит от k независимых параметров д,, д,, дъ В действительном движении системы параметры

д,, 92.....Qk являются функциями времени t, принимающими при t = t п

t= tl заданные значения, так как положения Ро и Pi системы в эти моменты времени предполагаются заданными. Для того чтобы сообщить системе в каждый момент времени допускаемое связями перемещение, которое определяется вариациями Ьх, Ьу, Ьг координат, обращающимися в нуль в моменты 0 и 1, достаточно сообщить параметрам д,, д, дк произвольные вариации 891, 892, 89;, обращающиеся в нуль в те же моменты.

Тогда сумма (,ХЬх.\-УЬу \-Zbz) примет вид

(3i5?i + Q2 892+...+Qk59& (п. 441). С другой стороны, Т будет функцией от д,, д,, д,

д, t. Следовательно, по принципу Гамильтона, если д,, являются функциями t, соответствующими действительному системы, то выражение

63= / (T-Qibqi + Qbg- ...+Qubgu)dt

«о

равно нулю, каковы бы ни были 891, 89,, 89.. Но в каждый момент времени t имеем

9i, 92-•••

72, 9fc движению

87- = -S9i-f-...+4.

dq, 6qu

dq, dq

Подставим это выражение в и затем преобразуем интегрированием по частям члены с 59j, bq,, .... bq. Замечая, что Qi ~ - • получим

f ±

J dt

B9i dt.

Проинтегрированная часть равна нулю, так как В91 обращается в нуль на пределах. Сделав такое же преобразование со всеми членами, содержащими 69, получим:

1дТ\

891+ ... \dt.



3 = / (T-\-U)dt

при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому движению, допускаемому связями, равна нулю. Следовательно, можно найти действительное движение, если искать такое допускаемое связями движение, для которого интеграл 3 имеет максимум или минимум, так как для нахождения такого движения нужно как раз приравнять нулю вариацию интеграла Это, однако, не значит, что действительное движение обязательно обращает интеграл 3 в максимум или минимум. Дарбу показал, что если U не содержит t, то интеграл 3 будет иметь минимум для действительного движения при условии, что - 0 достаточно мало. (Lefons sur la theorie generale des surfaces, т. И).

486. Принцип наименьшего действия. Этот принцип, менее общий чем принцип Гамильтона, применим к движению системы, связи которой не зависят от времени и на которую действуют силы, имеющие силовую функцию и. Принцип наименьшего действия выражает геометрическое свойство системы, не зависящее от понятия времени.

Пусть Т - кинетическая энергия системы. Применяя к движению теорему кинетической энергии и принимая во внимание, что связи не зависят от времени и что U не содержит t, получим

y,mv-i y,mv

ddU, = L/ + h.

Положение системы, которую мы считаем голономной, зависит от k независимых геометрических параметров д, .....д таким образом, что

координаты X, у, г произвольной точки системы выражаются в функции параметров, не содержащих t:

= Т (?,. .....ЯцУ У = Ф {Я,, ft. • •.. ft), -г = о {Я,, ft.....ft)-

где выписан только член с Ьд,, а остальные члены получатся путем перемены индексов. Так как это выражение должно равняться нулю, каковы бы ни были Ьд, Ьд.....5 в функции t, то необходимо, чтобы все коэффициенты при этих вариациях под знаком интеграла были равны нулю. Приравнивая их нулю, мы получим уравнения движения в форме Лагранжа.

Предыдущие вычисления неприменимы к неголономным системам, так как для такого рода систем не будет справедливо равенство dbg = Ьdg. [См. Аппель, Bulletin de la Societe mathematique de France, декабрь 1898, и Филипп Журден (Philip Jourdain), Mathematische Annalen, т. LXV, 1908.)

Частный случай, когда составляющие по осям координат приложенных сил равны частным производным функции U от координат и времени. В этом случае сумма виртуальных работ

2 (А Sx -f К 5у + Z Ьг)

будет полным дифференциалом bU функции U, взятым в предположении, что t рассматривается как постоянная. Тогда имеем

t, t,

53= j (bT-{-bU)dt=b j {T + U)dt.

и принцип Гамильтона приобретает следующую изящную формулировку. Если заданы положения системы в моменты и t, то вариация интеграла



Чтобы получить бесконечно малое перемещение системы, достаточно изменить эти параметры на dq, dq,, dq, тогда х, у, 2 получат приращения dx, dy, dz. Положим

где сумма распространена на все точки системы. Заменяя в ней dx, dy, dz их выражениями в функции dq dq,, dq, мы получим для dS" квадратичную форму относительно этих дифференциалов

arSa = 2 aij dqi dqj (aij = Uji), в которой коэффициенты a, суть функции параметров 9, q,, q. Кине-тическая энергия 2 будет тогда равна1-1 , и интеграл энергии напишется так:

Мы будем в дальнейшем предполагать, что постоянная энергии h имеет определенное значение.

Рассмотрим теперь два положения Ро и Р, системы, соответствующих значениям (9,V {q,), (9j)o " (i)i (гК- ••- (i параметров.

С точки зрения чисто геометрической можно перевести систему из одного положения в другое бесчисленным множеством способов. Чтобы получить один из этих способов, достаточно выразить q, q,, q виде непрерывных функций некоторого параметра X:

9l = /l(X), ?2=/2fc=4W

Причем так, чтобы при X = Хо координаты q приняли значения iqi)o. (9а)о> • • (qu)ff соответствующие положению Ро, и чтобы при 1 = Xj они приняли значения {q), (q,), {qy соответствующие положению Р,. Тогда при непрерывном изменении X от Хд до Х система будет непрерывным образом переходить из первого положения во второе. Каждому выбору функций f,,

/2.....fk соответствует свой способ перехода системы из положения Рд

в положение Р,.

Пользуясь понятиями геометрии, можно сказать, что мы будем рассматривать 9j, q,, q как координаты точки в пространстве k измерений. Тогда положениям Ро и Р, соответствуют две точки этого пространства с координатами (Оо. (92)0.....(&)о « (i)i (2)1.....(fc)i- Последовательности точек, определяемых соотношениями (2), когда X изменяется от Хо до Xj, соответствует кривая С, соединяющая обе точки Ро и Р,. Тогда действием вдоль кривой С от Ро ло Р, называют интеграл

Л= J YW+2hdS.

(Ро)

взятый вдоль этой кривой. Обозначим через q, q,, 9 первые производные от q q,, qj no X, так что здесь точки над q указывают, что дифференцирование производится по X. Тогда вдоль кривой С, поскольку для нее q,, q,, q будут функциями от X, имеем.

dS = VUij dqi dqj = У2 ji kj dk





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [124] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038