Главная Промышленная автоматика.

483. Пример. Возьмем совершенно элементарный пример, рассмотрев движение свободной точки массы 1, притягиваемой началом О пропорционально расстоянию. Тогда, обозначая через х, у, г прямоугольные координаты точки, имеем

7 = 1 у2 + U=~(x + yi + z-i).

Обозначив координаты через q,, ft, ft, получим

Н=Т-и = \ {pl + pl+pf + {ql + ql + 9l). Уравнения движения в канонической форме имеют вид

t"* t--

I. Сначала получим два первых интеграла, применяя теорему площадей к проекциям движения на две координатные плоскости. Эти интегралы будут

РъЯ\ - ftA = «2- 293 - ЯгРъ = «1- (11)

Применим теорему Пуассона. Если обозначить через ср и ф левые части равенств (11), то соотношение

(?. Ф) = йз

или, более подробно,

dqydpi, dpiWi Widp2 dpiWi ft dpa дрл dq ~

будет НОВЫМ интегралом. Проделывая вычисления, получаем

РхЯг -ЯхРч-Ч- (13)

Это будет действительно новым интегралом, выражающим теорему площадей для проекции движения на третью координатную плоскость. Продолжая применять теорему Пуассона к этому новому интегралу в сочетании с одним из двух предыдущих, получим другой из этих двух предыдущих интегралов. Эта теорема не дает больше новых интегралов.

II. Легко проверить, что уравнения движения имеют первый интеграл:

Р1Л-?Я\ = Ч- (14)

Скомбинируем его с одним из интегралов площадей, например с уравнением (13).

Приравнивая постоянной величине скобку (12), составленную из двух левых частей интегралов (13) и (14), получим новый интеграл

Рхг + Hftft = 6i- (15)

Этот интеграл также скомбинируем с интегралом площадей (13). Получим



(17)

Ml sin i>.t + Pl cos ix.t= fl,

\J.q2 sin ]xt P2 COS ix.t = fo.

(19)

Шесть интегралов (16), (17), (18) и (19) определяют окончательно шесть неизвестных в функции времени и шести постоянных gi, g, ёз> fb fi> fi-

М\ = gl cos \t + fl sin fi<,

Pi=fi cos \>.t - gi sin }t.t.

и аналогичные формулы для q, р, д», Ря- Это как раз те самые интегралы, которые получаются непосредственным интегрированием уравнений движения.

Принимая ВО внимание равенство (14), окончательно получим

р1 + fVl = «2-

Найденный интеграл не будет новым; он является следствием предыдущих, как это видно из тождества

(р1 + iqf) (р1 + 1>-V =iPlP2+ 1>-\Я2Т + (1Р2 -Pllif-

Следовательно, из уравнений (13), (14) и (15) вытекает интеграл а.

Так как пять интегралов (11), (13), (14), (15) независимы, то, приравнивая постоянным величинам скобки Пуассона, составленные из этих интегралов, взятых попарно, нельзя получить шестой независимый интеграл. Действительно, все полученные таким образом новые интегралы не зависят от t, а больше пяти независимых интегралов, не содержащих t, быть не может, ибо если бы существовал шестой такой интеграл, то из всех интегралов получились бы для шести переменных д,, д,, д$, р,, р, Рз постоянные значения.

Посмотрим теперь, что можно извлечь из интеграла, содержащего t.

III. Обращаясь к уравнениям движения, легко установить, что они имеют первый интеграл

Mcosfit - pa sin = (16)

содержащий время. Мы применим сейчас теорему Пуассона к этому интегралу, соединяя его последовательно с двумя интегралами площадей (11). Таким путем мы получим два новых интеграла:

Ml cos i>.t - Pl sin lit = gl,

2 cos \>-t - P2 Sin ixi = 2-

Образованные таким образом шесть интегралов (11), (13), (16) и (17) не будут независимыми. Действительно, можно убедиться, что имеется тождество

Cll + C22 + C33 = 0-

Следовательно, шесть интегралов приводятся к пяти.

Но в данном случае мы найдем шестой интеграл, применяя замечание п. 482. По условию Н не содержит явно t, поэтому, если tp = а есть интеграл, то - b будет также интегралом. Следовательно, из интеграла (16) непосредственно находим интеграл

Мз sin + Рп cos lit = /в, (18)

который совместно с пятью предыдущими решает задачу.

Из интегралов (17) можно образовать следующие интегралы:



= 0. (1)

Этот результат можно выразить также в следующей форме, которая составляет принцип Гамильтона.

Зададимся положениями Pq и Рг системы в моменты и i. В действительном движении системы из положения Pq в положение под действием заданных сил и реакций связей координаты х, у, г ее различных точек будут функциями времени, удовлетворяющими уравнениям связей и принимающими наперед заданные значения при 4 и t,. Пусть х-\-Ьх, у--8у, г-{-Ьг-произвольные функции времени t, бесконечно близкие к функциям X, у, г, соответствующим действительному движению. Эти новые функции также удовлетворяют уравнениям связей и принимают в моменты /о и t- те же значения, что и х, у, г. Таким образом 8л:, 8у, Ьг являются бесконечно малыми функциями времени t, обращающимися в нуль в моменты и <i и определяющими в этом интервале перемещения, допускаемые связями. Обозначим через = 2 (х + У + ) кинетическую энергию системы

при ее действительном движении и через 87" вариацию этой энергии, когда X, у, г получают упомянутые выше вариации Ьх, Sy, Ьг. Принцип Гамильтона заключается в том, что интеграл

= ьТ-\-{ХЬх + УЬу-\- гЬг) dt

равен нулю при всех системах значений Ьх, Ьу, Ьг, удовлетворяющих указанным условиям. Сумма 2 стоящая под знаком интеграла, распространяется на все заданные силы, кроме реакций связей. Чтобы доказать, что 8 равно нулю, заметим, что

ЬТ = т {х Ьх -f у 8у -I-г Ьг).

fmxbxdtf mbdt f mdbx,

так как 8 равно . Интегрируя по частям, мы можем последний интеграл написать в виде

dx . "dt

т -гя dt, dt

где проинтегрированная часть равна нулю, так как Ьх обращается на пределах в нуль. Таким же образом мы преобразуем все члены интеграла

IV. Принцип Гамильтона. Принцип наименьшего действия

484. Принцип Гамильтона. В предыдущей главе мы видели, что при движении системы без трения мы имеем в каждый момент t для любого возможного перемещения Ьх, Ьу, Ьг, допускаемого в этот момент связями, уравнение следующего вида:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [123] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036