Главная Промышленная автоматика.

I соответственно

и с остальными производными второго порядка, например с

другую систему функций тех же переменных, положим также

Bif)B,+ .,.+B, + B,,,g+ ••+%- (6)

Рассмотрим затем выражение полученное заменой

в обеих частях равенства (5) функции / функцией B(f), и выражение B[A(f)], полученное заменой в обеих частях равенства (6) функции / функцией Разность Л ] - В [Л (/) ] не

содержит производных второго порядка от /. Это можно непосредственно проверить. Например, в выражении

A[B(f)] коэффициенты при и при -т--равны (

dq, oq, oq2

А,В, и АВ,--АВ,; в выражении B[A{f)] коэффициенты при

--, и при -3- будут теми же самыми и, следовательно, эти про-dqi oq, Oq

изводные при составлении разности исчезнут. То же самое будет

dpi df (ЗУ

dpi dq, dp, др2 "

Пусть теперь /, cp, ф - три произвольные функции от q,, q,.....д.,

р,, р2.....Рк- Составим скобки

Л=(?. Ф). ?1 (ф-» /). ф1 = (/. ?)

путем круговой перестановки букв /, ср и cjj. Имеем тождественно т. е.

(/. (?. ФОН-(?. (ф. /)) + (ф. (/. ?)) = 0. (7)

Это и есть тождество, указанное Пуассоном. Его можно проверить непосредственным вычислением. Можно сократить вычисления, если воспользоваться замечанием, которое мы заимствуем у Гурса (Leijons sur Iintegration des equations aux derivees partielles du premier ordre, стр. 132, 1891 и «Курс анализа», т. II). Каждый член левой части тождества (7), которое требуется доказать, есть произведение производной второго порядка на две- производные первого порядка. Следовательно, достаточно установить, что левая часть не содержит никаких производных второго порядка. Покажем, например, что она не содержит вторых производных от /, т. е. что все члены, содержащие вторые производные от /, исчезают. В самом деле, члены, содержащие вторые производные от /, происходят рт

(?. ?i) + (t- Фг)

т. е. от

(?,(ф. /)) + (t.(/. ?)).



В самом деле, на основании тождества Пуассона, примененного к трем функциям Н, ср, tj), имеем

(Я, (ср. ф)) + (ср, (ф. Я)) + (ф, {И, 9)) S 0.

Отсюда на основании равенств (9) и установленных выше свойств ско.-бок находим

(я.(.,Ф))-(.. f)-gf. Ф) = о

или также

((Т. Ф).Я) + =.0,

что и доказывает, что (ср, ф) = с есть тоже интеграл.

Отсюда, казалось бы, достаточно знать .два интеграла уравнений движения, чтобы иметь возможность довести интегрирование до

чго МОЖНО написать также в виде

Мы можем тогда положить

(ср./) = Л(/). (Yf) = Bif).

поскольку оба выражения линейны относительно производных от /. При таких обозначениях выражение (8) напишется в виде

A[B(f)]-B[A{f)l

Оно, как мы видели выше, не содержит производных второго порядка от /.

Доказав, таким образом, тождество Пуассона, мы легко выведем из него теорему, открытую Пуассоном, особая важность которой была подчеркнута Якоби.

481. Теорема Пуассона. Есла

fiv Яг.....Як Pv Рг.....Рк- t)=a,

(Яи Яг.....Як. Pv Яг- Рк- t)b

суть два первых интеграла уравнений движения, то

(ср, ф) = с

будет третьим интегралом. Так как а - а и ф -* суть первые интегралы, то имеем тождественно

(9,Я) + = 0, (ф.Я) + =0. (9)

Требуется доказать, что (ср, ф) = с будет также интегралом, т. е. что из двух тождеств (9) вытекает третье тождество



и интеграл (10) напищется так:

Таким образом, если Н не содержит t и (f = a есть интеграл, то - с будет также интегралом; точно так же интегралом будет = с и т. д.

В случае, когда ср не содержит /, имеем тождество

(?, Я)0.

Таким образом, теорема Пуассона, примененная к интегралу энергии H - h совместно с интегралом (р = а, не содержащим t, приводит к простому тождеству (ср, ) = 0.

За подробностями мы отсылаем к «Лекциям:» Якоби и к сочинению Гурса «Об интегрировании уравнений в частных производных» (Sur Iintegration des equations aux derivees partielles).

Другие доказательства теоремы Пуассона можно найти в двух заметках Верня. (Vergne, Comptes rendus, 25 апреля 1910; Annales de IEcole Normale, 1910.)

конца, так как из этих двух интегралов можно вывести третий, комбинируя который с одним из предыдущих можно получить четвертый и т. д. Но может случиться, что (ср, ф) приводится тождественно к постоянной или к функции уже полученных интегралов. Отсюда следует, что на практике эта теорема, будучи всегда справедливой, не будет обладать всей той ценностью, которую можно было бы приписать ей, судя по ее формулировке.

482. Случай, когда Н не содержит t. Замечание об интеграле энергии. Если Н не содержит t, что будет, в частности, иметь место, когда связи не зависят от времени и существует силовая функция и (д,, д,, • . ., то канонические уравнения допускают первый интеграл

H=h,

который в указанном только что частном случае совпадает с интегралом энергии. Пусть тогда

<?(1. Я2 • •. Як Pl Рг- Рк О = а

будет другим первым интегралом. По теореме Пуассона

(Я, ср) = с (10)

будет также первым интегралом. Но так как ср = а является интегралом, то имеем тождественно

(т.я)+-о





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [122] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0056