Главная Промышленная автоматика.

in. Теорема Пуассона

478. Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях. Рассмотрим дифференциальные уравнения движения в канонической форме

dt - dp, dt ~ dq, l- ». .....«)• ()

Интегрируя ЭТИ уравнения, найдем q,, q, . .., ft, p,, p.....Pu>

в функции времени и 2k произвольных постоянных. Известно, что первым интегралом дифференциальных уравнений движения называется любое соотношение вида

/(ft, ft. .... ft, р„ Рг.....Ри, t} = C,

которое справедливо для любой системы функции q, и р,, удовлетво-

рящих уравнениям (1). Другими словами, левая часть /(ft, ft.....ft,

Pi, Рг.....ph< t) первого интеграла есть функция параметров ft, р,

и времени t, остающаяся постоянной в течение всего времени движения, каковы бы ни были начальные условия. Очевидно, что если f=C есть интеграл, то интегралом будет также Р{/) = €, где F есть функция от /.

Два первых интеграла

/i(ft, ft, ft, Pi, p2.....pu, t) = C„ и = Сг

называются независимыми, если одна из функций, например /3, не является функцией от другой, т. е. если не существует соотношение вида

Вообще п первых интегралов

/i = Ci, и = С,..... /„ = С„ (2)

называются независимыми, если ни одна из функций, например не может быть выражена в функции остальных в виде

UPih. /2.....U-V /, + 1. fn)-

Очевидно, что если известно п первых интегралов, таких как (2), то соотношение

р(А- /2.....fn) = c

будет также первым интегралом, но он не будет независимым от интегралов (2).

Если известны 2k независимых первых интегралов

Л - 1- /г -2 • • • • Ли = <2к (3)

то систему (1) можно считать проинтегрированной, так как эти 2k

совместных уравнений определяют параметры q,, ft.....ft,

pi, Рг, . . ., pii в функции t и 2k произвольных постоянных.



dq dt dq, dt dq dt ~

+ dt •• dpj dt dt~-

Заменяя ~- и их значениями (1) и написав все члены в другом порядке, получим

df dH df dH \ df dH

dqi dpi dpi dq, ~ dqo, dpo. dp2 dq2

df dH . df dH df Q

dPk Pk

Так как это условие должно выполняться для любого решения уравнений (1), то оно должно выполняться тождественно, каковы бы ни были q,, q,, .... q, Pi- P2- • • - Рк- t- В самом деле, так как это условие должно выполняться в течение всего времени движения, то оно должно выполняться и в произвольный момент tp, рассматриваемый как начальный момент, а известно, что в Этот момент можно дать параметрам q,, 2.....Як- Рг- Рг.....Рк произвольные начальные значения. Следовательно, условие должно выполняться, когда входящим в него переменным даются произвольные значения, т. е. оно должно удовлетворяться тождественно.

Любые интегралы системы уравнений. Говорят, вообще, что соотнощение вида

/(1. Чг.....Як- Pv Рг.....Рк- t, с„ . . ., С„)= О

есть интеграл уравнений (1), если оно тождественно удовлетворяется при замене параметров и р, произвольным рещением системы (1) и при замене величин с,, с.....с„, подходящим образом подобранными постоянными значениями.

Если интеграл содержит только одну постоянную с,, то его можно разрешить относительно этой постоянной и написать в виде

Яг.....Як- Pl- Рг.....Рк- i)Ci,

что и будет первым интегралом.

479. Условие, при котором f=C, есть первый интеграл; скобки Пуассона. Пусть

/(Я1- Яг.....Як- Pl- Рг- Рк- t)C

есть первый интеграл канонических уравнений движения (1). Так как функция / должна, по предположению, оставаться постоянной при замене в ней параметров q, и р, произвольным решением уравнений (1), то полная производная от / по / должна быть равна нулю:

df dg, ddq, df dq ,



dgi dpi dpi dgi dg dp dp dft "

dcp дЬ dcp di/

• Wkdp;~

называемого скобками Пуассона.

При таком обозначении условие того, что / = С есть первый интеграл, напишется так:

(/. + f 0.

Отметим некоторые свойства этих скобок, которые будут нам полезны в дальнейшем.

Если одна из функций ср или ф постоянна, то скобка (ср, cjj) равна нулю; если переставить ср и ф или у одной из функций ср или cjj переменить знак, то скобка переменит знак:

(ср, С)=:0, (ф, Ср) = -(ср, CJJ), (ср, - ф)=-(ср, ф).

Функции ср и cjj могут содержать время t явно; взяв частную производную от (ср, ф) по t, получим выражение, которое может быть написано следующим образом:

д(ср,ф) у (gf) дЬ {ji) д<Ь у д{т) Tt) dt "241 дд, dp, dp, dg\24

т. е.

.ft др dp, dg

д (у, 6) id

480. Тождество Пуассона. Между скобками трех взятых попарно функций существует замечательное тождество, которое непосредственно приведет нас к теореме Пуассона. Чтобы установить это тождество, сделаем сначала следующее замечание.

Пусть /-функция от ft, ft, ft, pi, Рг..... Pu, которая

может, кроме того, содержать t. и Л, А, . .., Аг - функции тех же переменных. Положим

/ , . а/ , , , а/ /

% Pi

+ A,„g+ ... +А§.. (5)

где A(f) обозначает, что над функцией / производится действие, выражаемое правой частью. Далее, обозначая через В,, В, .... Bgft

Скобки Пуассона. Пусть ср и с)-две произвольные функции от .....ft, Pi, Рк и t. Мы будем пользоваться символом (ср, (jj) для обозначения выражения

, ,, d<f dh df . d<f d>li df dli ,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036