Главная Промышленная автоматика.

J V 2hA.. 4- 2U.. + 2а.. J

f 2hA + 2Щ + 2a J л[ 2hA + 20 + 2a

Таким образом, задача разрешена в квадратурах.

Адамар, совершенствуя метод Штауде (Staude), исследовал преобразования этих уравнений для случая, когда интервалы изменения каждого из параметров ? ограничены с двух сторон (Hadamard, Bulletin des Sciences mathematiques, т. XXXV, 1911).

476. Теорема Штеккеля (Staeckel). Штеккель в Comptes rendus (1893) указал обобщение теоремы Лиувилля. Это обобщение применимо к системе, зависящей от к параметров, но чтобы не осложнять обозначений, мы изложим ее для случая трех параметров.

Пусть Д - определитель

f 1 (Я\) 92 (92) Ъ (9з) i(9i) ЫЯ2) Фз(9з) Xi(9i) Х2(92) 1зШ

и ф1, Фг, Ф - миноры определителя Д относительно элементов cpi, (f2, cfg первой строки, W,, Xi, ... -миноры относительно элементов 6.....у, ...

следующих строк.

Допустим, что кинетическая энергия 7" системы и силовая функция U имеют вид (см. Гурса, Comptes rendus, 1893):

27- = д(-?. + 4- + + (А)

\ Ф2 Фз J Д

В этом случае метод Якоби дает возможность определить движение при помощи квадратур.

каждая скобка в отдельности равна постоянной. Следовательно, мы должны иметь

"57 (ж)" ~ - = (V = 1, 2.....к),

где а, а,, а обозначают постоянные, сумма которых равна нулю; k-\ этих постоянных aSj, а,.....а будут произвольными, и мы имеем

Тогда, интегрируя, получим

1/,= J Y~B,V hA, + 2U, + 2a, dq,.

Заменяя в выражении (7) функции V,, V, этими значениями,

мы получим полный интеграл с k произвольными постоянными а,, а,, aj , h. Окончательно уравнения движения будут следующие:

- = V -Ж=-о (=1-2.....k-X).

Выполняя дифференцирование и применяя соотнощение (8), получим



Фз dqs .

--- = Of,

7.3 dqi .

в самом деле, мы здесь имеем

и Irfi 1 п2л ln2л /1Ф1+/2Фа + /зФз

Составим уравнение Якоби и положим в нем V= - ht-\-W; тогда уравнение (J) для W напишется так:

Попытаемся найти полный интеграл вида

Если мы заметим, что <Pi»i + <f2»2+?3»3 --t 4*1*1 + Ф2Ф2 +ЬФз = 0. 7аФ1 + Х2Ф2 + ХзФз = 0.

то увидим, что уравнение (J) будет тождественно удовлетворено, если принять

(4) = 2 (-2 + Л?2 + %Ф2 + «2Ха) = /=2 (92).

[--f = 2 (/3 + Лз + а1фз + aifj = (9з)-Тогда движение определится равенствами:

/7=1(91) У"2(92) d УРШ

Г У1 dqi Г у2 dq . Г Узз

Полученная теорема содержит теорему Лиувилля как частный случай, так как, если Т и U имеют вид, требуемый в теореме Лиувилля, то сразу видно, что они всегда могут быть представлены в форме (А).

Обобщение этой теоремы можно найти во второй заметке Штекеля (Comptes rendus, 7 октября 1895).

477. Приложение преобразования Лежандра к уравнению Якоби,{ В предыдущей теории параметры q и р имели разный смысл. Но легко видеть, что в каноническую систему

dt dp, • dt ~ dq,

переменные p и q входят почти симметрично, так как достаточно заменить Я величиной - Я, чтобы параметры р заменились параметрами q, и наоборот. Поэтому уравнения Якоби

dV , ,,(dV dV



можно заменить уравнением dW

dW dW Л .

dW да,

= с,.....

dw дЛ

да - j - ор

Если будет найден полный интеграл W(t, р, р., а, а этого последнего уравнения, то равенства

(V = 1, 2.....k)

определят интегралы уравнения (1).

От уравнения (2) к уравнению (3) можно перейти так же, заменив переменные q и функцию V новыми переменными р и новой функцией W, связанными со старыми следующими равенствами:

дУ dq,

ч = к

дУ dq.

Повторяя вычисления, при помощи которых- мы привели уравнения Лагранжа к канонической форме, мы увидим, что эти формулы влекут за собой следующие:

dW dp.

dV dt

dW dt

Следовательно, заменяя переменные по формулам (4), мы преобразуем

уравнение (2) в уравнение (3). Полному интегралу V (t, q .. уравнения (2) соответствует полный интеграл W(t, р, уравнения (3), и имеют место соотношения

дУ дУ , .

Следовательно, уравнения = Ь„ р, = -щ- (v = 1, 2, ..

за собой уравнения

dW dW

-b„ q,

., k) влекут

Преобразование (4) называется преобразовтием JleMandpa. Оно обобщает известное преобразование, которое изучают в курсах анализа для случая, когда k = 2. Общую теорию контактных преобразований можно найти в сочинении Гурса «Об уравнениях с частными производными» (Е. О о и г-sat, Sur les equations aux derivees partielles, гл. XI).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037