Главная Промышленная автоматика.

Первые четыре уравнения определяют последовательность положений волчка; из последнего уравнения определяем время. Заменяя в двух первых уравнениях последний интеграл через t - /д» приводим их к виду

h - bi = a,(t - ta), n - bo,= a2{t - to).

Таким образом, вновь получается тот результат, что проекция центра тяжести на горизонтальную плоскость движется прямолинейно и равномерно. Наконец, чтобы получить в конечной форме переменные р,, рч,, Рз, Pi, Ръ, dV

составим равенства р, =

Pi = «i.

dq., /73= ft. Рг

откуда

= ft, ft = ft, p5 = y/2sin2e + /е.

2°. Пример, в котором связи зависят от времени. Применим метод Якоби к задаче, изложенной в п. 455.

Рассмотрим однородный тяжелый стержень, движущийся без трения в плоскости, которая вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси, лежащей в этой плоскости.

Положение системы зависит от трех параметров i, i\, 6, играющих роль параметров ft, ft, g.

Допустим, что масса М равна единице. Получим, как это было найдено ранее, следующие выражения для кинетической энергии и силовой функции

Г = у (£2 + 4- т + сй?А:2 C0S2 6 + (о2£2), и = gfi.

Нужно положить

Pi = -

после чего получим уравнения

Pi=i, P2 = V. Рз = кЧ, непосредственно разрещенные относительно £, ч], 6. Далее нужно положить

K==Pii +Р2Ч -\-р.Ч -Т. Тогда после замены -ц, в их значениями и после сокращения получим

:o22 (,os2 Q 22

Теперь функция Н=К-U будет иметь вид

pl + pl + ~-kcos4-ofe

Теперь легко написать канонические уравнения. Можно убедиться, что они совпадают с уравнениями, полученными в п. 455.

Применим метод Якоби. Уравнение с частными производными будет

dV dt

2 + dt +

•С0252

j (dvy k-i[db )

C02/fe2 cOS2 (

= 0.



- 2Л + [f (I) - 0,252] + [р () 2] + rj (8) - «2 cos 8

= 0.

Так как в уравнении с частными производными переменные I, -ц, 8 рассматриваются как независимые, то это соотношение может иметь место только тогда, когда каждая из величин, стоящих в скобках, в отдельности постоянная. Необходимо, следовательно, принять

Fl (I) - со2£2 = 2ai, f (г,) - 27, = 2а,.

Подставляя 2% и 22 в предыдущее уравнение, получим

•4- Ръ (в) - cos2 е = 2ft - 21 - 22-

Три последних уравнения определяют Fi, F. и F при помощи квадратур, и мы получаем полный интеграл

V=-M-\- J yco?£2 + 2ai rfi + J У2т + 22 +

-f j* Уco2A:2 cos2 e -f 2ft - 21 - 2аз M

с тремя постоянными ai, а, ft, из которых ни одна не аддитивная. Уравнения движения в конечной форме будут

dV , dV

= -to.

откуда, обозначая через 9 величину o>22 cos2 6 -f 2ft - 21 - 22. получаем: J Yo,4"- + 2ai J J Y2gyi + 2a2 J Y

Из этих уравнений можно определить £, к), 6 в функции t и шести постоянных а,, а<1, ft, bi, Ьч, to. Первые два, принимая во внимание третье, могут быть написаны в виде

f - .t-tp + bi, f г - = t-to+l2,

откуда получаем для ? и т; выражения, совпадающие с найденными в п. 455. Наконец, параметры р,, р, р имеют значения:

Ищем полный интеграл уравнения в виде

где функции Fl, F, F переменных £, nj, 6 тождественно удовлетворяют уравнению



475. Теорема Лиувилля. Лиувилль указал очень распространенный случай, когда уравнения движения интегрируются в квадратурах. Рассмотрим систему без трения, связи которой не зависят ot времени и кинетическая энергия которой выражается в функции параметров q, .... ft в виде

27- = (Л, + + ... + А„) {B,q + B,q + ... + B,ft ).

где А, и В, являются функциями одного только параметра ft, а А к В - одного только параметра ft и т. д. Движение этой системы может быть вычислено при помощи квадратур, когда на нее не действуют никакие силы или, в более общем случае, когда действующие на нее активные силы имеют силовую функцию и (ft, • • •, ft) вида

где U-i зависит только от q,, Uo, - только от qo,,---, U, - только от ft. Частный случай этой теоремы был указан в конце первого тома (п. 305).

Метод Якоби дает сразу искомое движение. Переменные ft в рассматриваемом случае определяются равенствами

/v==( + + ••• +Au)B,q[.

Определяя отсюда q[ и подставляя их значения в 7", найдем для функции Н=Т-и вследствие однородности 7" относительно q

Pi . Р2

-{U1 + U2+ ... +Uu) .

Следовательно, уравнение с частными производными Якоби, если положить

V = -ht+ W,

будет иметь вид

1 /dWV

L2S,V c»ft

Ay + A2+ ... +Au Оно имеет полный интеграл вида

W=Vi+V+ ... + Vk,

= 0.

где Vt зависит только от q,, - только от ft, ... и - только от q-В самом деле, подставим это значение W в предыдущее равенство и отбросим знаменатель. Мы получим уравнение, которое можно написать так:

... +

Г 1 IdV,

-2hAu~2Uu

= 0.

Первая скобка зависит только от ft, вторая - только от ft и т. д. Так как в уравнении с частными производными эти переменные независимы, то последнее уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [119] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0051