Главная Промышленная автоматика.

ную Cfc. Конечные уравнения движения (JJ и (Jj), если обозначить через -обратятся в следующие:

= = *2.....-d, = h-u - + -5л-=-0 (i)

Первые {k-1) уравнения (Ji) не содержат времени t и поэтому определяют геометрические положения, через которые проходит система при своем движении; из последнего уравнения (jj) находим время, необходимое системе для достижения какого-нибудь из этих положений.

Случай, который мы только что рассмотрели, представится, в частности, тогда, когда силы имеют силовую функцию U(д,, q,, q) и когда вследствие того, что связи не зависят от времени, координаты различных точек системы, выраженные в функции q,, не содержат /. Тогда Н-Т - и не будет содержать явно t. В этом случае постоянная h будет постоянной энергии, так как уравнение (J), если dW

в нем заменить функциями обратится в следующее:

Я(р„ /?2.....Ри, qi, qz.....Як) - или Т-t/= Л,

что является интегралом энергии.

Примечание. Метод, которым мы воспользовались, чтобы упростить нахождение полного интеграла, в случае, когда уравнение Якоби не содержит t, применим также к случаю, когда любая другая переменная, например q,, не содержится в этом уравнении. В этом случае нужно стараться удовлетворить уравнению, полагая

V==aj9j + cp(2, 3.....д, t),

где aj - некоторая постоянная, а <р уже не зависит от q\. Тогда задача сведется к нахождению полного интеграла уравнения, содержащего на одну независимую переменную меньше.

474. Примеры. 1°. Приложение к движению волчка по горизонтальной плоскости. Эта задача была решена в п. 407 как пример движения однородного тяжелого тела вращения, скользящего по горизонтальной плоскости. Пользуясь обозначениями пп. 407 и 408, мы видим, что положение системы зависит от пяти параметров S, т;, ср, <{;, 6, играющих роль параметров Яь Яг Яз Я< Яь- Координата С центра тяжести связана с 8 соотношением С = /"cos 8. Для сокращения письма мы предположим, что масса волчка принята равной единице {М - 1). Тогда кинетическая энергия будет

Т= -f 4- /2 sin2 ев2 -f Л -Ь ф) -Ь CfA,

Т = \ 15 -f l) -Ь {П Sin2 8 + Л) 4- Л Sln2 4- с (ср Н- 4 cos 8)2].

с другой стороны, силовая функция есть

U = - gl cos 8.



вид:

Л = = г, P2=-=V. Ps = =C(9 + 4cos8), Р* = Щ7=А sin2 64 + С COS 6 (9 + 4 cos 6), р5 = =( sin2 В+Л) 6.

чаем

Эти уравнения нужно разрешить относительно -ц, 6, f, ф. Полу-

<f + 4cose 4 =

5= Л. l=P2.

.Pi-Ps COS 8

л sinS 8

/2 Sin2 8 + Л J

Внося эти значения в выражение для 7" и замечая, что так как Т является однородной функцией относительно д,, д, д, то в рассматриваемом случае Н=Т - U находим:

р1+р1 +

/2 Sin2 6 + Л + С + Л Sin2 е

Мы можем теперь написать канонические уравнения:

4- gl cos 8.

дН

d<b дН -pgcos 8 rf9 <?Я рс,

---„ d<t dH p (Р4-P3COS8) dt ~ dpi dt dps~ С А Sinn

А sin2 8

dt дръ /2 sin2 8 + A

и далее:

dt "

dPi

dt ~

дЬ •

где производную мы не написали явно. Эти канонические уравнения (3)

и (4) определяют S, к), 9, 8, pi, р,, Рз, Р4, Р5 в функции t. Первая группа уравнений, очевидно, идентична уравнениям (1). Из второй группы имеем сразу первые интегралы

ру=а,, p2 = «2. Рз=аз, ра,

откуда, подставляя эти значения в уравнения (1) и (3), получаем

5=й1, 1) = , C(<f-i-4cos в) = аз,

А Sin2 bY -f С cos 6 (9 -f Y cos 6) = ft.

Эти четыре первых интеграла совпадают с теми, которые мы нашли непосредственно (п. 407) путем применения общих теорем. Два первых выражают, что горизонтальная проекция центра тяжести совершает прямолинейное и равномерное движение; третий показывает, что составляющая г мгновенной

Переменные определяются уравнениями = --у, которые здесь имеют



угловой скорости вращения постоянна; последний, - что в движении вокруг центра тяжести сумма моментов количеств движения относительно вертикали Gz, постоянна. Присоединяя к интегралам (5) интеграл энергии

T-U-=h или H=h,

мы получим все уравнения, найденные ранее.

Применим теперь теорему Якоби. Мы опять найдем те же интегралы. Уравнение с частными производными будет

ill +1 UETf 4- CY ч- 1 f

dt 2\\ dij \д-г]} f sin2 e -f Л \

/2 sin2 %J\-A\db j

Так как оно не содержит явно ни одну из переменных t, S, т), 9, ф, то полный интеграл можно найти в тиде

V=--ht + a,i + ai] -f + + F (в), где ft, а,, flo, Дд, a - постоянные, а F{b) - функция только от 6. Подставляя это значение V в уравнение (6) и замечая, что равно F (в), мы получим для определения F (в) уравнение

F2(e) = (;2sin2e4-Л)

2h - 2glco%% - a\ - al -

С Лз1п2е(*<-«ЗС08в)2

Интегрируя, найдем

F{Q) = J Yl"- sln2 8 + A ye rfB,

где для краткости положено

e = 2ft-2/cose-a?-a- -А (й, - cos Ь)\

Таким образом, получаем полный интеграл

V = - л; + ai£ 4- 4- 4 дф 4- J У р sin 8 4- А Ув й8

с пятью постоянными л, а, ач, а, а, из которых ни одна не является аддитивной. Тогда уравнения движения в конечной форме будут

дУ dV

(!x= 1,2,3, 4).

Следовательно, дифференцируя под знаком интеграла и принимая во внимание, что в зависит от ft, а,, а, а, а, получим:

, С У/2 81п2в4-Л С fl" Sln28 4- Л .д .

Sin26 4-

COS I

Л sln2 8

, Г y/2 sln2 4- Л (а, - Да cos 8) ГУРзПт

Уё Лэ1п2в * ув

уР sln28 4- л

- Лз COS 8)

" y/2sinii8 4-Л





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [118] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0051