Главная Промышленная автоматика.

так как р, равно . В этом случае функция К обращается в сле-

дующую:

и мы имеем

K=-p,q-T=2T-TT, H = K-UT-U.

Вычисления же, которые нужно выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через д[, ft.....q,, к форме Т,

выраженной через р,, р, р, совпадают с теми, которые нужно выполнить, чтобы перейти от формы квадратичной к форме, ей сопряженной.

Случай, когда связи не зависят от времени и существует силовая функция; интеграл энергии. Добавим к предположениям предыдущего случая еще одно дополнительное условие, что существует силовая функция, т. е. что функция U зависит от координат различных точек, но не от времени. Тогда, так как по предположению выражения координат как функций q не содержат t, то U обращается в функцию от ft, ft.....ft, не содержащую t. В этом

случае теорема кинетической энергии приводит к интегралу

T-U = h или H=h.

Это можно легко вывести из канонических уравнений. Действительно, в рассматриваемом случае функция Н = Т-U не содержит явно t и выражается только через переменные q, и р . Во время

и уравнения (4) примут вид

dt - др, dt ~ dq, 1- .....й). (Ь)

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они образуют систему 2k уравнений первого порядка, определяющих ft, ft.....ft и Р2.....в функции времени и 2k

произвольных постоянных.

Частный случай, когда связи не зависят от времени. Если наложенные на систему связи не зависят от времени, то параметры q,, ft, . . ., ft можно всегда выбрать таким образом, чтобы выражения координат различных точек системы в функции этих параметров не содержали явно t. Тогда Т будет однородной функцией второй степени относительно q (п. 445) и по теореме об однородных функциях будет

, дТ



dt Zd\ dq, dt dp, dt )"

Ho на основании канонических уравнений каждый член суммы, стоящей в правой части, равен нулю. Следовательно, во время движения имеем:

= 0. H = ft.

Примечание. Если Н содержит явно t, то

dt ~~ 2л\ dq, dt "т" dp, dt j dt

Так как сумма в силу канонических уравнений равна нулю, то находим

dH dH dt ~ dt

Преобразование Пуассона - Гамильтона ecezda возможно. Преобразование основано на возможности разрешить относительно q,, q,, q линейные уравнения (2). Достаточно показать, так же как в п. 294, что-определитель коэффициентов при неизвестных q, не может быть равен нулю.

По вопросу о преобразовании Пуассона - Гамильтона и о преобразованиях переменных, не изменяющих каноническую форму уравнений (6), можно указать на исследование: Vergne (Вернь), Sur certaines proprietes des sy-stemes dequations differentielles, Annales de IEcole Normale superieure, 1910, стр. 543.

H. Теорема Якоби и ее приложения

472. Теорема Якоби. Теорема Якоби применима к каноническим уравнениям, в которых Н является произвольной функцией переменных q,, р, и t, т. е. функцией вида

Н(р1, Р2, .... Ри, qi, 2- •••• Як- t).

Теорема основана на том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого уравнения с частными производными первого порядка. Она сводит интегрирование канонических уравнений к разысканию полного интеграла этого уравнения. Формулируется эта теорема следующим образом.

Пусть дано уравнение в частных производных первого порядка

dV . „(dV dV dV n Л (\ fn

движения эти переменные и р, являются функциями времени и через них Н также становится функцией времени. Тогда мы имеем



да, 1 да дай

dV dV dV

с 2k произвольными постоянными с,, ft.....ft, b,, b.....b.

В п. 297 мы доказали эту теорему в предположении, что число переменных д равно 3 (ft = 3). То же доказательство справедливо и в общем случае, когда k - произвольное целое число. Нет смысла снова возвращаться к этому доказательству. Следовательно, общую теорему можно считать доказанной. Уравнения (JJ определяют ft, ft.....ft в функции времени и 2k постоянных ft и 6,. Эти выражения определяют движение системы. Уравнения (Jg) определяют после этого вспомогательные переменные р,.

473. Частный случай, когда t не содержится в коэффициентах уравнения Якоби. Когда t не содержится в коэффициентах уравнения (J), то этому уравнению можно удовлетворить функцией вида

V = - ht-\-W,

где h обозначает постоянную, а W - функцию от ft, ft, .... ft, не зависящую от t. Подставляя это выражение V в уравнение (J), мы получим для определения W уравнение

Достаточно найти полный интеграл уравнения (J)

W((}i, ft, ft; ft, ft.....ft i, Л)+const,

содержащий, кроме h, еще k- 1 постоянных ft, ft, ..., ft j, из которых ни одна не является аддитивной. Тогда, приняв

V = -ht-Wig„ ft. ft; ft. ft. ft i. h),

мы получим полный интеграл уравнения Якоби с k постоянными ft, ft, ..., ft i, h, из которых последняя заменяет собой постоян-

определяющее V в функции переменных д,, ft, ..., ft, t, рассматриваемых как независимые. Если известен полный интеграл

V(ft. ft.....ft. t; ft, ft.....ft) + const (C)

этого уравнения, содержащий k произвольных постоянных

а,, ft.....ft, из которых ни одна не является аддитивной,

то конечные уравнения движения, т. е. общие интегралы канонических уравнений, имеют вид

= ХГ. = 2..... - = (>к. (Ji)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039