Главная Промышленная автоматика.

Оставляя в стороне члены, не зависящие от р, д, г, мы можем написать 2S Л (р - +В(д- Qi) + С (/• - R,) -

- 2D iq - Ql) (/• - Rl) - 2E (г - R,) {p - Pi) -2F(p- Pi) (g - Qi) + + 2[(C-B)qr-D{g-i-r)-Epq + Fpr] (p - P,) + + 2[{A-C)rp-E{r-p)-Fqr+Dqp] (q-Qi) + + 2[(.B-A)pq-F(p-q>)-Drp+Erq] (r- Ri) + .. Примечание. Если оси Oxyz неподвижны в пространстве, то

Я = Q = /? = О,

и поэтому

Pi = Qi=i=0. Если оси неподвижны в теле, то

Рр, Q = q, R = r.

откуда по-прежнему

Л = Oi = /?! = 0. (Аппель, Journal de Jordan, 1900.)

17. Определить, каким является в движущемся теле геометрическое место точек А, обладающих следующим свойством:

Энергия S абсолютных ускорений тела равна энергии ускорения всей массы, сосредоточенной в точке А, сложенной с энергией ускорений, вычисленная для относительного движения тела вокруг точки А. (А. де Сен-Жермен, Comptes rendus, 1901.)

18. Качение кругового диска по заданной поверхности под действием заданных сил. (Воронец, Mathematische Annalen, т. LXVII, 1909.)



ГЛАВА XXV

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ И ПУАССОНА. ПРИНЦИПЫ ГАМИЛЬТОНА, НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ И НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ

I. Канонические уравнения

471. Преобразование Пуассона и Гамильтона. В конце первого тома, в п. 291 И в следующих, мы видели, как можно преобразовать уравнения движения точки, взятые в форме Лагранжа, к форме, названной канонической.

Такой же метод применим к уравнениям движения любой голономной системы, положение которой зависит от координат q„ q, . . . . ., ft. Мы это сейчас покажем, отсылая за всеми подробностями вычислений к главе XVI, в которой они выполнены для случая & - 3.

Уравнения Лагранжа будут

Примем, как Пуассон, в качестве новых переменных вместо q[, q, . . ., q величины

dq, dq dq

Уравнения (2), будучи линейными относительно q,, .. ., ft, могут

быть разрешены и дают для этих величин выражения, линейные относительно Pi.....pjc- Посмотрим, во что обратятся уравнения (1),

если сделать такое преобразование переменных.

Оставим переменную t постоянной и дадим переменным д к р произвольные бесконечно малые независимые приращения 8 и ор. Тогда все q получат приращения oq, определяемые соотношениями (2), которые предполагаются разрешенными относительно q.

Функция Т, зависящая от переменных q и д, получит тогда изменение

rt X дТ .X дТ ,



дК ч , V дК

Это новое выражение для ЬК должно быть тождественно предыдущему, каковы бы ни были 3 и Ьр. Следовательно, имеем

дТ дК , дК

dq., dq., др.,

(v=l>2.....k). (3)

В этих уравнениях частные производные от Т взяты в предположении, что Т выражено через q и q, а частные производные от/С - в предположении, что К выражено через q а р. На основании соотнощений (3) уравнения Лагранжа (1) принимают вид

dt dq., dt - dp, О- 1. - • • И)- (V

Эти уравнения первого порядка определяют переменные р,, р,, ... pj, q,, q.,, .... qji в функции времени.

Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что составляющие по осям приложенных сил, кроме реакций связей, являются частными производными по координатам некоторой функции U от координат и времени. Эти условия будут, в частности, выполняться, если приложенные силы имеют силовую функцию, но тогда U будет содержать только координаты и не будет зависеть от времени.

При таком предположении, так как координаты различных точек являются функциями параметров q,, q,, . . ., q и быть может времени t, то и будет функцией от q,, q,.....t, не содержащей

величин р,, так что частные производные Щ- равны нулю. Кроме того, имеем Qv=- Положим тогда

К-и = Н. (5)

Получим

дК дН Ж -п -

др, - др, • dq., dq.,

ИЛИ В силу уравнений (2)

что, полагая К = р q\ - Т, можно написать в виде

Таким образом получается первое выражение для дифференциала ЬК. Допустим, с другой стороны, что К выражено через новую систему переменных и р,. Когда t остается постоянным, а эти переменные получают произвольные вариации S, и Ьр,, тогда





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [116] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038