Главная Промышленная автоматика.

висящую только от угла в, который образует ось Gz тела с нормалью Gz, к плоскости.

12. Обобщение теоремы. Бонне (п. 247, конец приложения). (См. Р а-dova (Падуя), Bulletin des Sciences mathematiques, стр. 178, 1885.)

13. Таутохронизм в системах. Дана система с не зависящими от f связями, находящаяся под действием известных сил, зависящих только от

положения системы. Обозначим через д,, до,.....ди независимые параметры,

служащие для определения положения системы. Задача заключается в следующем.

Определить, какие новые связи числом k - 1 нужно наложить на систему для того, чтобы полученная таким образом система с полными связями была таутохронной, т. е. чтобы система достигала определенного положения за один и тот же промежуток времени, каково бы ни было начальное положение при условии равенства нулю начальных скоростей.

Ответ. Имеем:

2 = 2Vij- (a{j = aji),

{Xbx-{-Yby + Zbz) = Q,bq,+Q2bq2+ ... +Qfc5ft.

Введем новые связи, делающие систему таутохронной системой с полными связями. Можно всегда предположить, что тогда д,, д%, ди выражаются в функции одного параметра д. Единственное уравнение движения новой системы получается из уравнения кинетической энергии

dT = Q,dq,+ ... -\-Qudqu. (1)

Введем вместо д новое переменное s, определяемое соотношением

VUijdqi dgj= ds. (2)

Тогда

7- = Qidqi+ ... -Qudgu=f{s)ds

и уравнение (1) обратится в следующее:

s"=f(s).

Для того чтобы это уравнение определяло таутохронное движение, необходимо и достаточно (п. 213), чтобы функция /(s) имела вид -[j."s, где (1.2 - положительная постоянная. Мы должны, следовательно, иметь

Qidg, + Qidgo+ ... -f dft = -(xsds. (3)

Наоборот, если найдены функции д,, до.....ди от s, удовлетворяющие

соотношениям (2) и (3), то система станет системой с полными связями и положение ее будет зависеть от единственного параметра s. Эта система будет таутохронной.

Так как для определения д,, до,.....ди в функции s имеются только

два соотношения, то k - 2 совместных соотношений между д,, д, Яи и S можно задать по произволу.

Можно, например, сделать задачу определенной, требуя, чтобы система была таутохронной не только по отношению к заданным силам, но и по отношению к k - 2 другим системам сил К**, Z*, зависящим только

от положения. (Аппель, Comptes rendus, т. CX1V, 1892, стр. 996.)

14. Смысл перехода к мнимым значениям времени. Если дана система материальных точек, подчиненная не зависящим от времени связям и находящаяся под действием сил, зависящих только от положения отдельных точек, то интегралы дифференциальных уравнений движения



dt ( Ц ) dq,

Тогда Т будет однородной функцией второй степени относительно q[, q,, ...

qj, откуда непосредственно видно, что замена t величиной tY- сводится к замене величиной - Q, т. е. к перемене знака приложенных сил. (Аппель, Comptes rendus, т. LXXXVII, 1878, стр. 1074.)

15. Приложение общих уравнений, данных в п. 465, к твердому телу, движущемуся параллельно неподвижной плоскости. Примем за плоскость фигуры плоскость кривой, описываемой цейтром тяжести. Возьмем в этой плоскости две неподвижные оси Ох и Оу и пусть £ и г) - координаты точки G. Достаточно, очевидно, знать движение плоской фигуры (Я), являющейся сечением тела плоскостью хОу. Обозначим через 6 угол между осью Ох и радиусом GA, неизменно связанным с этой плоской фигурой (Я), и через Mk - момент инерции тела относительно оси, проведенной через О перпендикулярно к плоскости хОу.

Движение тела вокруг центра тяжести G есть вращение вокруг неподвижной относительно тела оси с угловой скоростью в. Следовательно, функция Si, вычисленная для движения тела вокруг точки G, имеет вид

Поэтому

5 = [£"«+<+й2е"*-}- ...],

где нет смысла выписывать члены, не содержащие вторых производных.

С другой стороны, если через и Yq обозначить проекции главного вектора приложенных сил и через Ло - сумму моментов этих сил относительно оси, проведенной через точку G перпендикулярно к плоскости хОу, то получим

2 {ХЬх -f Yby Z80) = ХоЫ FoSv) НЪЬ.

Предполагается, что на тело не наложены никакие другие связи и поэтому параметры £, i\, 6 независимы. Тогда уравнения движения будут:

dS dS dS

di" ~ » dfl" ~" » дГ Mi" = Хо, тИг)" = Го, МкП" = Ло-

Таким образом, мы вновь нашли те же уравнения, которые непосредственно получаются из общих теорем.

16. Вычисление энергии S ускорения твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки О. Отнесем движение тела к прямоугольному

системы остаются вещественными, если в них заменить t величиной t Y- 1 и проекции а, Pj,, скорости каждой точки тр заменить величинами - aY- 1> - V-1, - YjsV-1. Полученные таким обра-зом выражения являются у равнениями нового движения, которое получат те же самые точки системы, если их поставить в те же начальные условия и подвергнуть действию сил, соответственно равных и противоположных тем, которые вызывают первое движение.

Доказательство. Можно использовать уравнения с множителями Лагранжа и заменить в них t величиной tY-1. что равносильно замене знака проекций приложенных сил и видоизменению множителей.

Можно также воспользоваться уравнениями Лагранжа



-\rn{jl-,ilj%

В этой сумме имеются в качестве коэффициентов моменты инерции Л = 2и(у2 + г), В = 2»( + -*) C = m{x-i-y->) и центробежные моменты

относительно осей Охуг. Эти шесть величин будут, вообще говоря, изменяться с течением времени, так как оси Охуг перемещаются в теле.

В рассматриваемом случае параметрами являются углы, определяющие положение тела относительно точки О. Величины р, q, г содержат первые производные этих параметров по времени; так как предполагается, что триэдр Охуг соверщает известное движение, то Р, q, R должны рассматриваться как известные функции времени; следовательно, вторые производные параметров входят только в р, q, г. Тогда иа основании общего замечания достаточно вычислить в выражении для 5 члены, содержащие только ускорения, т. е. р, q, г, так как только эти члены зависят от вторых производных параметров.

Положим для краткости

qR - rQ = P„ rP - pR = Qi, pQ - qP = Ri

и обозначим временно через а, Ь, с суммы 2 "ix 2 2 можем написать

25 = а Kq рг) + (г - Pi + pqT-] +

+ b [(/• - Pi - qp) + (P -Pl + grf] + + с [{p - Pi - rq) + {q - Qi + rpy\ -- 2i> [(.q- - ri) / + (9 + pr) (P - Pi - pq)] --2E[{r-p)q + {r-Ri + qp)(p-P,-qr)]--2F[(p-q)r + (p-Pi + rq)(q-Qi-rp)] +...

Раскроем скобки и соберем вместе члены, содержащие р- Р, q~ Q, г - Р), при этом заметим, что

Ь + с = А, с + а = В, а + 6 = С,

Ь - с = С - В, с - а = А - С, а - Ь=В - А.

триэдру Охуг с началом в точке О, совершающему известное движение. Пусть Q - мгновенная угловая скорость триэдра w Р, Q, R - составляющие этой угловой скорости по осям Охуг. Пусть, далее, в> абсолютная мгновенная угловая скорость тела и /?, 9, г - ее составляющие по осям Охуг.

Мы нашли (п. 466) для проекций j, jy, Jz ускорения точки т выражения вида

}x = -x{q-r-i-)-y\q(p-P)-pQ-r\z\rip-P)pRq\.

Отсюда путем перестановки букв получаются jy, j. Составив сумму квадратов, получим р и, наконец, функцию





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037