Главная Промышленная автоматика.

Имеются два первых интеграла

gp = const И T-U = h.

Величина cos ср является эллиптической функцией времени.

4. Однородный тяжелый стержень прикреплен одним концом А к неподвижной точке О при помощи нити длины О А = АВ. Другой его конец В скользит без трения по горизонтальной оси Ох. Найти малые колебания.

Пусть 2/ - длина стержня, 6 - угол между плоскостью ОАВ и вертикальной плоскостью, проведённой через Ох, р -угол ОВА. Имеем, принимая массу стержня за единицу,

27- = -i т sin2 р 4- 1 /2 (1 6 sin2 Р) р

U = gl sin р cos 6.

Существует положение устойчивого равновесия, соответствующее значениям 9 = 0, р = -g-.

5. Найти движение математического маятника переменной длины. Рассмотреть частный случай, когда / изменяется пропорционально t. (Лекорню, Acta matliematica, 1895.)

6. Бесконечно тонкая прямолинейная трубка ОА образует постоянный угол 9 с восходящей вертикалью Ог. Найти, по какому закону следует вращать эту трубку вокруг оси Ог, чтобы скользящая в ней без трения тяжелая материальная точка т могла при подходящем подборе начальных условий двигаться по закону, определяемому уравнением

От = k{t-\- ayi (й и а - постоянные).

Пусть <\i - угол между плоскостью гОА и неподвижной плоскостью. Допустим, что I задано в функции времени: ф = и обозначим через р расстояние От. Имеем:

r=--[p2 4-p2sln2 9/2(0],

и mpg cos 9,

откуда получается уравнение движения

р" - р sina 9/2 (О -Н cos 9 = 0.

Вопрос сводится к следующему: какова должна быть функция f(t), чтобы это уравнение допускало частный интеграл p = fe(-f-a)a? Из условия, что искомая функция должна удовлетворять указанному уравнению, находим

Если, в частности, й = - cos 8, то получится f(t) = 0; трубка должна

оставаться в покое.

6а. Однородная круговая трубка бесконечно малого сечения может вращаться вокруг одного из своих диаметров, который вертикален и неподвижен. Внутри,трубки может двигаться без трения тяжелая материальная точка т. Найти движение системы.

Положение системы зависит от двух переменных. Примем начальное положение трубки за плоскость хОг и. обозначим черед f угол, который



"2

7е = /ИГ2 SlnS (

Вычисление Т". Так как вектор ш мгновенной угловой скорости вращения направлен по Ог, а вектор о момента количества движения точки М в ее относительном движении по отношению к осям хОг перпендикулярен к плоскости хОг, то эти векторы взаимно-перпендикулярны. Следовательно, .--

здесь cos о),а = О и Г* = 0.

Вычисление U. Так как составляющие единственной приложенной силы

суть

Х = 0, Г=0, Z = mg,

и = mgr cos 6.

Вычисление К. Ускорение j центра О, вращающегося с угловой скоростью О) вокруг точки А, направлено по ОА и равно ч)а. Следовательно,

К = тгта sin в.

в момент t образует плоскость трубки со своим начальным положением. Примем за ось Ог направленный вниз неподвижный диаметр и пусть в - угол между радиусом От и осью Ог.

Если R - радиус трубки, а iW - ее масса, то

2Т = МкЦ + mR- (в -f sini в), U = mg R cos е.

7. Две материальные точки т и т притягиваются пропорционально расстоянию и должны двигаться по двум окружностям радиусов а и а, лежащим в одной и той же горизонтальной плоскости.

Найти бесконечно малые колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия.

Исследовать конечное движение в случае, когда обе окружности кон-центричны.

8. Движение тяжелой точки М по окружности, вращающейся с постоянной угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси ST, лежащей в плоскости окружности и не проходящей через ее центр О. Примем за подвижную систему отсчета систему, образованную направленной вниз вертикалью Ог и горизонталью О, пересекающей ST.

Пусть т - масса точки М, г - радиус окружности, а - расстояние О А от центра О до оси 57".

Положение маятника ОМ определяется в каждый момент времени углом 6, который он образует с осью Ог, причем этот угол считается положительным в прямом направлении, т. е. от Ог к оси Ох. Применим метод Жильбера, хотя прямой метод будет значительно ироще.

Вычисление Т. Это - кинетическая энергия системы S, состоящей здесь из точки М, в относительном движении по отношению к хОг, т. е. в ее вращательном движении вокруг О:

Тг\тгЧ\

Вычисление Т. Мгновенная ось вращения системы хОг при ее движении около точки О есть прямая Ог. Момент инерции точки М относительно этой оси равен H=mrs\nb. Следовательно, имеем:



= «2 sin е COS е - -i Sin е + - cos е.

Чтобы получить положения относительного равновесия, нужно приравнять нулю правую часть. Эта последняя задача была разрешена геометрически в п. 415.

9. Тяжелое твердое тело D движется вокруг горизонтальной оси хОх. Ось хх в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью » вокруг пересекающей ее вертикали zOz. Центр тяжести G тела находится на перпендикуляре, восставленном в точке О к хОх. Предполагается, что оси хх и 0G являются главными осями инерции тела в точке О.

Найти движение тела, пренебрегая вращением Земли.

Примем в качестве системы отсчета прямоугольную систему Охуг, вращающуюся вокруг Ог с заданной угловой скоростью ш.

Обозначим через 5 расстояние GO, через 6 - угол между прямой 0G и нисходящей вертикалью Ог. Относительным движением является вращение с угловой скоростью 8 вокруг оси Ох. Применяя метод Жильбера, имеем:

Тг = £а(1\ re = y(Bcos2e-f Csln2 8), r = 0.

Величина Т* в общем случае равна «а cos w, а. В рассматриваемом случае главный момент а количеств относительного движения равен аь и направлен по оси Ох; угловая скорость м направлена по оси Ог; следовательно,

cos ма = О и Г* = 0. Единственной действующей силой, кроме реакций связей, является вес; следовательно, имеем

U = Mgb cos 8.

Наконец, так как начало О неподвижно, то К равно нулю. Таким образом, уравнение движения будет

Л - 0)2 (С - В) sin 8 cos в = - iM5 sin 8.

Это уравнение может быть отождествлено с уравнением движения тяжелой точки по окружности, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью о) вокруг неподвижного вертикального диаметра. См. предыдущее упражнение. (Жильбер, Memoire sur Г application de la metliode de Lagrange au mouvement relatif.)

10. Определение движения однородного тела вращения, движущегося вокруг точки, лежащей на его оси Ог, может быть приведено к квадратурам каждый раз, когда приложенные силы имеют силовую функцию U, зависящую только от угла между осью Ог и прямой Ог,, имеющей постоянное направление.

Действительно, примем прямую Ог, за координатную ось; тогда U=f{b) и, написав интеграл энергии и уравнения Лагранжа относительно «риф, мы увидим, что они приводятся к квадратурам.

11. Показать, что исследование движения однородного тела вращения, скользящего по неподвижной плоскости, приводится также к квадратурам каждый раз, когда приложенные силы имеют силовую функцию U, за-

Имеем, таким образом,

Т = ~ тгЬ + тг- sin6

U-r К = mgr cos 6 4- mra>a sin 6. Следовательно, уравнение движения будет





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.1066