Главная Промышленная автоматика.

(10)

d4j+x дд

Мы видим, что уравнения, выведенные в п. 465, дают общее решение [юпроса в более простой форме, чем уравнения Лагранжа. К этим п - j уравнениям необходимо присоединить р уравнений (5) и г уравнений (3) сервосвязей. Если г = то число уравнений равно числу неизвестных.

Пример. Материальная плоскость Р может скользить поступательно по неподвижной горизонтальной плоскости хОу. По плоскости Р может катиться без скольжения шар S радиуса R. Движение плоскости Р автоматически регулируется таким образом, что центр шара равномерно

Эти два выражения должны быть равны между собой для всех перемещений, обращающих в нуль работу реакций связей второго рода, т. е. для всех перемещений, удовлетворяющих j соотношениям (4). Здесь также представляется выгодным воспользоваться соотношениями (6), что позволит

исключить в уравнениях (4) величины bq+i.....Цп+р- Эти уравнения,

будучи разрешены относительно / вариаций из числа оставшихся Ьд,.....Ьд,

перепишутся так;

bg,=cj+,bgj + l+ ... +сЛ„Ьд„, j .................J (9)

Заменяя в выражениях (7) и (8) вариации Ьд,, bgj их значениями (9) и принимая во внимание, что эти выражения должны быть равны друг другу

при любых значениях оставшихся произвольными вариаций Sft+i.....8?»

мы получим следующие уравнения движения

\дЯп I \дйг I \dqj I

Эти уравнения проще, чем написанные для той же задачи уравнения Лагранжа [см. уравнение (12) на стр. 348], так как в каждом из них содержится У+1 членов вместо т I = р + J-\-\ членов в уравнениях Лагранжа. Уравнения (10) осложнены только коэффициентами и , появляющимися в связи с необходимостью рассматривать те перемещения, для которых работа реакций связей второго рода равна нулю, и нисколько не обусловленными неголономными связями.

К уравнениям (10) следует присоединить р уравнений (5) и г уравнений (3), выражающих сервосвязи.

Случай, когда перемещения, обращающие в нуль работу реакций Связей второго рода, определены j зависимостями вида

591 = 0..... 5ft = 0. (И)

Сохраняя предположения предыдущего случая, допустим, что условия, которым должны удовлетворять перемещения, чтобы обратить в нуль работу реакций связей второго рода, имеют простую форму (11). Впрочем, можно всегда свести задачу к этому случаю путем введения, если это необходимо, подходящим образом подобранных вспомогательных параметров.

В этом случае, который по существу является общим, если производить вычисления, как только что было указано, уравнения (10) упрощаются и принимают такой же вид, как и в случае отсутствия сервосвязей:

Qy.i.....i=Q;. (12)



или на основании (3) и (Г)

2S = Л1 (£" + у)"-) + 1 \(v" - т,")2 -f (£" - + 2v"-l. (4)

Возможные перемещения, обращающие в нуль работу реакций связей второго рода, определяются у = 2 условиями

5м = О, St; = 0, (5)

поскольку эти реакции являются реакциями плоскости на шар. Эти условия имеют вид, указанный в предыдущем параграфе [уравнение (11)], так что уравнения движения имеют вид [уравнения (12)]

- =Н, S-=N: (6)

di" йт," Ъч"

Правые части равны нулю, так как работа заданных сил (вес шара) равна нулю, и мы получаем уравнения:

вращается вокруг Ог с угловой скоростью » относительно неподвижных осей Ох, Оу, Ог. Исследовать движение при помощи уравнений п. 465.

Пусть и и V - координаты какой-нибудь точки А плоскости Р относительно осей Ох, Оу, Ог. Положение этой плоскости определяется только этими двумя параметрами. Положение шара определяется координатами 5, т) ее центра и, например, углами Эйлера в, i/, определяющими ее ориентацию.

Если р, q, г суть проекции на оси координат мгновенной угловой скорости шара, то для получения условий качения без скольжения нужно написать, что совпадающие в момент t материальный элемент шара и материальный элемент плоскости имеют одинаковые скорости. Отсюда получаем

Z-qRu, ri+pRv. (1)

Сервосвязей будет две:

di + aridt = О, dTi - aidt= 0. (2)

Так как число этих соотношений равно числу параметров, от которых зависит положение плоскости Р, то можно разрешить задачу, прилагая уравнения п. 465 к одному только шару 2.

Принимая во внимание только голономные контактные связи, мы будем рассматривать шар, как зависящий от семи параметров и, v, i, i], ср, 6, cj; (й = 7). Полезно присоединить три вспомогательных параметра (s = 3), связанных с предыдущими параметрами соотношениями

dlpdt, di>. = qdt, d4 = rdt. (3)

Эти Л + s = 10 параметров связаны между собой тремя последними соотношениями и двумя соотношениями (1), выражающими неголономные контактные связи. Соотношения (1) можно написать так:

di - Rdii = du, df\-\-Rd\ = dv. (Г)

Соотношения (3) и (Г) являются р дифференциальными соотноишниями общей теории [стр. 352, уравнение (2)] {р - 5).

Из/г-fslO параметров мы сохраним Лs - = л = 5 параметров. Мы выберем и, v, i, % ч и выразим энергию ускорений S шара в функции вторых производных этих параметров, воспользовавшись р соотношениями (3) и (Г). Значение S определяется формулой

2S = Л1 -f rj") +1 {р -f q"- + f\



и можно положить

GP = а cos ср, ОР " Ь sin ср.

Обозначим, с другой стороны, через а угол хОР, который образует перпендикуляр ОР с неподвижной осью Ох. Для полярных координат /- и 8 точки G имеем:

г2 = а2 cos2 ср 4-62 sin2 ср, 6 = а - arctg ctg ср. (1)

Тогда

j=(Vr282)-f 4

где Mki -7- момент инерции стержня относительно точки G.

Заменяя г, г и 8 их значениями из равенства (1), мы получим 7", выраженное через ср и ср. Работа приложенных сил равна нулю. Получим два первых интеграла

дТ ж -7- ,

-3-7- = const и Т =h. да

Исключая а, найдем при помощи квадратуры выражение для t в функции угла ср.

3. Найти движение однородного тяжелого стержня, один конец которого А скользит по горизонтальной плоскости хОу, а другой конец В - по вертикальной оси Ог (Лиценциатская).

Обозначая через ср угол стержня с восходящей вертикалью Ог, через е - угол плоскости АОВ с плоскостью хОг и через 21 - длину стержня, получим

Г = (82 Sin2cp + Cf2),

U=-glCOS Cf.

которые совместно с уравнениями сервосвязей (2) решают задачу. Эти пять уравнений непосредственно интегрируются и показывают, что точка А описывает циклоиду. Формулы (1) показывают, что вектор мгновенной угловой скорости остается параллельным образующим наклонного конуса, основанием которого является горизонтальная окружность, описываемая

с угловой скоростью (о.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Применить метод Лагранжа к задачам, разобранным и предложенным в качестве приложения общих теорем и теории относительного движения в главах"ХУИ1, XIX, XX, XXI и XXII.

2. Однородный тяжелый стержень АВ движется в горизонтальной плоскости. К его концам А п В прикреплена нерастяжимая и невесомая нить, проходящая через бесконечно малое неподвижное колечко О. Найти движение системы.

Пусть 2с - длина стержня и 2а = АО + ВО - длина нити. Опустим из точки О перпендикуляр ОР на стержень и пусть GP - расстояние от точки Р до середины G стержня. Точка О находится на эллипсе, фокусами которого являются точки А п В и длина фокальной оси которого равна 2а. Следовательно, обозначая а - с = Ь, имеем





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037