Главная Промышленная автоматика.

который равен нулю, так как перемещение удовлетворяет уравнениям (2). То же самое будет и для аналогичных коэффициентов при М, ... Имеем, следовательно, уравнение

d(T-U) + l(adq+ ... +arf9ft) + [(6,rf9,+ ... +bdq)+ ... =0.

Мы видим, таким образом, что T-U не будет постоянным. Члены с X, [X, ... представляют элементарную работу реакций связей второго рода, которая не равна, вообще говоря, нулю, так как не предполагается, что для действительного перемещения выполняются условия (4). В зависимости от знака эта работа соответствует для рассматриваемой системы S или прибавлению, или затрате механической энергии.

То же самое будет и в каждом определенном выше частном случае: из сочетаний кинетической энергии не получится выражение d{T- U), так как в уравнения движения входит лишь часть выражений Р,.....Pw Q\.....Qh-

Отсюда вытекает интересный вывод, что сервосвязи могут позволить по желанию увеличивать или уменьшать механическую энергию системы, и, в частности, амортизировать колебания системы, в которой отсутствует рассеивание энергии.

Пример. Пластинка 2, расположенная в неподвижной горизонтальной плоскости, шарнирно связана в точке С с круговым диском Ъ,, лежащим в той же плоскости и движущимся вокруг своего неподвижного центра О. Постоянная сила F, параллельная неподвижной прямой Ох, действует на пластинку S в точке А, лежащей на прямой, соединяющей точку С с центром тяжести G. Сервомотор М при помощи особого сцепления действует на диск 2, причем так, что постоянно осуществляется связь

«-? = - (1)

[а = {бхОС); р = (OjTcA); ОС = R; СА = а, cg = Ь\.

Исследуем движение системы. Так как в ней имеется только одна серво-Связь, а положение диска Ej зависит только от одного параметра а, то система 2, взятая изолированно, подходит под частный случай 4° (стр. 349). Следовательно, уравнения Лагранжа можно применить отдельно к пластинке 2; мы видим, что масса диска 2, не влияет на движение. Напишем кинетическую энергию пластинки 2:

7- = -1М + bY -\- 2Rb<x cos (а - Э) -Ь к->Ц,

где Mk" - момент инерции пластинки относительно точки G. Возможная работа силы F будет

bj = Fh (R cos а -f- а cos P).

Единственное уравнение для р, которое нужно написать, будет

(f)-f

Но, принимая во внимание уравнение сервосвязи, имеем

щг = М [6!>Р + Rb cos (а - ?) -j- Щ\ = iM (62 + /fe2) р. С другой стороны,

~ = MRba" sin (а - р) = ЫРЬ?"",

и следовательно, уравнение движения имеет вид

М (i2 - k-) " MRb + Fa sin р = 0. (3)



Допустим, что сервосвязи представлены г конечными или дифференциальными соотнощениями:

(ft, ft+s, 0 = 0.

(г соотношений)

Hdqi+ ... +tj+sdq + s + dt = 0.

Наконец, возможные перемещения, для которых обращается в нуль работа реакций связей второго рода, будут те, которые удовлетворяют ) соотношениям:

ft 81+ ... +ft+sbft+8 = 0, (; соотношений) -! bbq,-]- ... -f 6ft+s S+s = 0, (4)

Если бы связь a - =Y была осуществлена непосредственным касанием между Е и Si, то движение было бы совершенно иное. Оно определялось бы уравнением

[М («2 + 62 + k") + Л] + F(asln? + R cos Р) = О, (4)

где /i -момент инерции диска относительно точки О. Из уравнения (3) легко найти движение: р получится в виде суммы показательного члена и члена, синусоидального относительно Р; р изменяется между двумя пределами, из которых один может стать равным бесконечности. Напротив, уравнение (4) даст колебательное движение наподобие маятника.

Для получения положений равновесия нужно приравнять нулю правую часть уравнения (2). Таким путем получатся два положения, для которых СА параллельно силе. Наоборот, из уравнения (4) получатся положения, для которых силе параллельна прямая ОА.

Приложение уравнений, выведенных в п. 465. Уравнения, выведенные в п. 465, представляют следующие преимущества: 1° они могут быть приложены к системам, подчиненным неголономным связям, без введения неизвестных вспомогательных множителей; 2° они допускают использование вспомогательных параметров, связанных с действительными координатами .....9ft дифференциальными зависимостями.

Рассмотрим систему 2, удовлетворяющую условиям, указанным вначале (стр. 345). Пусть положение этой системы при наложенных на нее контактных голономных связях зависит от h параметров д,, д, и, быть может, от времени t, причем так, что координаты каждого элемента системы суть конечные функции вида

x = f{qi.....ft, 0. >•=••. г = ••• (1)

Допустим, что к параметрам ft.....ft присоединены s вспомогательных

параметров ft+i, ft+s, связанных с предыдущими параметрами дифференциальными соотношениями, которые служат лишь для определения вспомогательных параметров (никакие реакции связей этим соотношениям не соответствуют). Выпишем названные соотношения с соотношениями, выражающими неголономные контактные связи, так как при составлении уравнений они всюду входят одинаково.

Мы имеем р (ps) дифференциальных соотношений вида

Adqi + ... + A,,+ sdqh+3+ AdtO, {р соотношений) { Bi rf,-f ... -\- B,,+siqf+s-\- В dt = О, (2)



После этого составим выражение

8 = т{х" + у"-+г"\

называемое энергией ускорения. Если мы выразим х", у", г" через 9ft, t и через первые и вторые производные по времени t параметров 9, то увидим, что члены Р в уравнении Даламбера представятся в виде

Л = ..... Рп-

Отсюда и получаются уравнения движения.

Случай, когда дифференциальные уравнения (2), определяющие вспомогательные параметры и неголономные контактные связи, разрешены относительно р величин dq. Для того чтобы уравнения движения представлялись наиболее просто, полезно разрешить" р уравнений (2) относительно р величин d9 из общего числа й 4" S = " 4-этих величин. Таким

путем мы выразим, с одной стороны, р производных qn+i.....я+л Функ-

ции q,, 9jj соотношениями вида

Яп+1 = lЯl +

и, с другой стороны, р возможных перемещений bq-i,.....9. в функции bq,.....59„:

Цп+\ =«141+ ... + а» б9„.

где коэффициенты <ц, суть функции от q,, 9/,. Разумеется, параметры q,.....9п могут быть выбраны с одинаковым успехом как среди

действительных координат, так и среди вспомогательных параметров Яь+\< •< Яп+з-

Установив это, мы, вместо того, чтобы выражать S в функции параметров д,,..., Яп и их первых и вторых производных, как это намечалось сделать выше, используем уравнения (5), которые заменяют собой уравнения (2). Дифференцируя уравнение (5) по t, выразим вторые производные Яп+v •••• Яп+р Функции q,, ...,9 ив функции первых производных от параметров q. Таким путем можно исключить из S вторые производные qn+v Яп+р после чего S обратится в функцию от

1i.....Ян+8 t. qv Qh+s и от л

знаем, что при этих условиях взятая

функцию q",, ..., ql. Мы

сил инерции ра вна

вторых производных .д, с обратным знаком возможная работа

Если, с другой стороны, воспользовавшись соотношениями (6), выразить возможную работу заданных сил при помощи только 89, ...,-89„, то для этой работы получится выражение вида

Q,bq,+ ...+Qrfiqn. (8)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [112] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.006