Главная Промышленная автоматика.

Множители Лагранжа в этом случае делаются бесполезными. Подставляя в уравнение (8) эти выражения для bq,, ..., bq, мы получим линейное

уравнение относительно q,.....bq, которое должно удовлетворяться,

каковы бы ни были эти вариации, откуда следуют h-т уравнений вида-

/m+»-Qm-i-i + «m+i(A-Qi)+ • +W«(/m-Qm) = o, (12)

где I-одно из чисел 1, 2,..., h - т.

К этим уравнениям нужно присоединить р уравнений (2) и г уравнений (3) сервосвязей.

2°. Если уравнения (11) приводятся к виду

81=0..... 89 = 0, (13)

то уравнения движения принимают простой вид

к этому уравнению мы добавим р зависимостей (2), умноженных соответственно на коэффициенты Л, М..... и / зависимостей (4), умноженных

соответственно на X, (л, ... Эти коэффициенты Л, М.....X, [х, ... составляют р-\- ] вспомогательных неизвестных. Мы получим уравнение

{Pi-Qi+/-Ai-WBi+ ... +Xaj + (x6f+ ...)5,-=0, (9)

где I принимает значения 1, 2.....h. Множители Л, М.....X, (л, ... могут

быть выбраны таким образом, чтобы коэффициенты при р -\- ] вариациях bqi равнялись нулю, так как имеется в виду, что соотношения (2) и (4) являются независимыми. Уравнение (9) должно удовлетворяться, каковы бы ни были остальные Л - р - j вариаций 8ft так что коэффициенты при этих Л - р - / вариациях в уравнении (9) должны также равняться нулю.

В результате задача приводится к разрешению h уравнений:

Pi-Qi + AA + MBi+ ... +>ft + f*i+ •• =0, 1

Pa-Q2+-2 4-MB2-b ... +Xft + (*2+ •• =0, } <10) ...........................J

к которым нужно присоединить р уравнений (2), выражающих неголономные контактные связи, и г уравнений (3) сервосвязей. Всего получается, таким

образом, h-\-p-\-r уравнений с h-\-p-\-J неизвестными (q,.....qJ, Л,

М.....X, (х. ...).

Если окажется, что г превышает j, то задача, вообще говоря, будет невозможной, т. е. нельзя будет осуществить сервосвязи, число которых превосходило бы число ограничительных условий, которые нужно наложить на параметры q, чтобы обратить в нуль возможную работу реакций второго рода.

Если г равно j, то задача решается с помощью уравнений (2), (3) и (10).

Если г меньше j, то движение будет неопределенным, так как понятно, что если условия, которым должны удовлетворять эти реакции второго рода, определены недостаточно, то их исключение становится невозможным и движение не может быть исследовано, если оно частично не задано.

Частные случаи. Г. Допустим, что уравнения (2), выражающие, что возможные перемещения допускаются неголономными контактными связями, и уравнения (4) для перемещений, при которых обращается в нуль работа реакций связей второго рода, разрешены относительно р -\- j = т вариаций 4l.....Чт-



....."Vft-

/ft-Oft + Aft+MBb+ ... =0,

(16)

число которых равно h - k и к которым, как и в общем случае, нужно присоединить р соотношений (2) и г соотношений (3), так что получатся h - k -\- р г уравнений с h-\-p неизвестными. Задача будет определенной, если число уравнений сервосвязей будет равно числу k параметров, от которых зависит вспомогательная система 2j.

4°. Сохраняя предположения предыдущего случая (3°), допустим, кроме того, что все контактные связи являются голономными (;? = 0). Тогда множители Л, М, ... также станут ненужными и уравнения (10) приведутся к следующим h - k уравнениям:

fc+i = 0&+i.....PhQh. (17)

к которым нужно будет присоединить г уравнений (3) сервосвязей. Неизвестными будут только 9.

Примечания. 1°. В системах без сервосвязей возможными перемещениями, к которым применимо уравнение Даламбера, являются те, которые допускаются всеми связями. В системах, содержащих сервосвязи, это будут совершенно другие перемещения. Отсюда становятся ясными причины аналитического различия, существующего между обеими категориями систем, и понятен также весь интерес, связанный с практической точки зрения с механизмами, содержащими сервосвязи.

2°. В случае, когда реакциями связей второго рода являются исключительно реакции подвижных препятствий, положение которых есть функция некоторых параметров д (случаи 3° и 4°), решение задачи не будет зависеть от инерции этих тел и приложенных к ним заданных сил.

Если в какой-нибудь системе, подчиненной г соотношениям сервосвязей, можно выделить такие две части 2 и 2j, что на частичную систему 2 не будет действовать никакая реакция связей второго рода, кроме реакций системы 2i, и если, кроме того, число параметров, от которых зависит система 2, равно числу условий сервосвязей, то ни заданные силы, приложенные к системе 2, ни ее инерция не будут влиять на движение системы 2. Метод, указанный в случаях 3° и 4 , позволит тогда составить уравнения задачи, не вводя в них ни заданных сил, ни характеристик инертности системы Si. Частичная система будет при этом играть вспомогательную роль. Этот частный случай не редко встречается в приложениях.

Равновесие систем, содержащих сервосвязи. Принцип Даламбера дает условия равновесия, если отбросить члены Р, происходящие от сил инерции рассматриваемой системы. Уравнения (10), относящиеся к общему случаю, и уравнения (12), (14) и (16) или (17), относящиеся к изученным частным случаям, переходят в уравнения равновесия, если в них положить все величины Р равными нулю. К этим уравнениям необходимо присоединить те из уравнений сервосвязей, которые конечны. Дифференциальные уравнения,

3°. Допустим, что реакции связей второго рода являются исключительно контактными действиями некоторой вспомогательной системы 1, подвижных препятствий (тел), положения которых зависят от некоторых параметров 9j ИЗ совокупности д, д. В этом случае соотношения (4) будут:

Ьд = 0, .... В9 = 0, (15)

ибо как раз, оставляя неподвижными эти препятствия, мы обратим в нуль работу сил их действия на заданную систему 2, В этом случае станут ненужными

множители X, (х.....так как уравнение (8) содержит только

Уравнения (10) приведутся теперь к следующим:

Pu+i~Qk+i + AAj,+i + MBh+i-\- ... =0,



Тогда выражение

имеет значение

dt \ dq )

Заменяя в уравнениях (10) величины Р,.....Pj, этими значениями,

мы распространим тем самым уравнения Лагранжа на системы, содержащие сервосвязи.

Существенно заметить, что кинетическую энергию надо вычислять в функции переменных q,,...,q, q[,...,qf, t, совершенно пренебрегая сервосвязями. То же самое будет и для элементарной работы

заданных сил. Если эти силы имеют силовую функцию, т. е. если Qi,...,Qb

dU dU - ,r суть частные производные ..... -щ- некоторой функции и от q,.....ft, t,

то эта функция U будет вычисляться без использования сервосвязей, и только при составлении самих уравнений, т. е. в выражениях Q, "-i

("" > можно принимать во внимание сервосвязи. Однако так как

производная от по времени вычисляется для действительного движе-

ния, которое совместимо с сервосвязями, то можно в выражении

до дифференцирования по t выполнить все упрощения, вытекающие из этих связей. Итак, сервосвязи можно принимать во внимание лишь после того,

как закончено вычисление трех выражений Q, ,

Уравнение энергии. Пусть контактные связи не зависят от / и, в частности, в уравнениях (2), выражающих неголономные связи, отсутствуют члены с dt (А = В = .., = 0); пусть далее заданные силы имеют силовую

функцию и(q,.....ft). Умножим уравнения (10), определяющие движение

в общем случае, на приращения dq,.....dq параметров при действительном

перемещении и сложим результаты. Выражение

P,dq,+ ... -fPrfft

представляет собой взятую с обратным знаком работу сил инерции 2(.х" dx у" dy -\- z" dz), т. е. дифференциал dT кинетической энергии. Выражение

равно dU. Множитель Л имеет при себе коэффициент

Adq+ ... +Adq.

выражающие неголономные связи, как обычные, так и сервосвязи, очевидно, не присоединяются: они удовлетворяются тождественно.

Приложение. Уравнения Лагранжа. Пусть выполняются определенные с самого начала (стр. 345) общие условия. Если все наложенные контактные связи являются голономными, то координаты X, у, Z различных элементов рассматриваемой системы 2 выражаются в конечной форме через время t и параметры .....q, от которых зависит положение системы [уравнения (1)].





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038