Главная Промышленная автоматика.

вдоль оси Д, которые являются обычными реакциями связей, и реакции шестерни Ь, действующие на колесо а. Эти реакции, играющие в задаче основную роль, имеют совершенно особый характер, так как шестерня Ь, их вызывающая (не входящее в систему тело или препятствие, осуществляющее добавочную связь), не неподвижна, но и не совершает того движения, закон которого заранее известен как функция времени. Характер этой добавочной связи известен заранее как функция параметров (здесь а и сц), от которых зависит положение системы SSj.

Если в рассматриваемую систему включить ротор R мотора М, то реакциями связей, кроме обычных сил реакций (силы давления со стороны неподвижной оси и взаимные давления в местах соприкосновения ротора R с кольцом 2,), будут также и электромагнитные силы, действующие на ротор со стороны статора. Эти силы будут действительно иметь характер реакций связей, так как наперед они неизвестны, но известно, какие значения они должны иметь, чтобы осуществить рассматриваемую связь.

При любом возможном перемещении, допускаемом связью а = л,, работа реакций обыкновенных связей равна нулю. Напротив, работа реакций добавочных связей, развиваемых посторонними телами, положение которых зависит от параметров а и сц, или электромагнитными силами, действующими на ротор на расстоянии, не равна нулю. Именно по этой причине механизмы, содержащие сервосвязи, отличаются от других.

Общее исследование механизмов, содержащих сервосвязи. Принцип Даламбера. Пусть дана материальная система Е, в которой отсутствует рассеивание энергии. Допустим, кроме того, что все части этой системы (за некоторыми исключениями, которые будут указаны ниже) являются неде-формируемыми (абсолютно твердыми).

Будем считать, что положение системы при наложенных на нее связях зависит от некоторого ограниченного числа h параметров д,, qi, таким образом, что координаты х, у, z каждого элемента системы являются заранее известными функциями этих параметров и, быть может, времени t:

= f{4y 92.....ЧнЧ > = •; = ••• (1)

Пусть некоторые из посторонних тел, осуществляющих связи, с которыми 2 находится в соприкосновении, или неподвижны или движутся так, что закон их движения в функции времени t известен. Положения других посторонних тел и, следовательно, характер осуществляемых ими связей будем считать зависящими от некоторого числа k введенных параметров q, например от q,..., q, и также, быть может, от времени t.

Условия соприкосновения у всех этих связей считаются такими, что связи являются голономными.

Допустим, кроме того, что на систему наложены некоторые неголономные связи, т. е. что параметры q, .... q связаны некоторым числом р линейных дифференциальных зависимостей, выражающих условия качения без скольжения и верчения на некоторых поверхностях или линиях соприкосновения. Эти зависимости позволяют выразить р элементарных приращений

ЛЯп+ь .....dq„.p (п + р h)

в функции dq,.....dq„ и dt. Они имеют вид

f Adq+ ...А dq -Ь Л dtO, (р зависимостей) ] (2)

В, + ... dq + В dtQ,



Этими условиями определяются неголономные контактные связи. Таковы те два единственных вида связей, которые мы обычно встречаем.

При всяком элементарном перемещении, допускаемом связями системы в момент времени t, т. е. при перемещении, при котором Ь1 равно нулю, а bq,, ...,bq„ произвольны, работа взаимных реакций между телами системы, так же как и реакций неподвижных или зависящих от t связей, равна нулю. Мы будем говорить, что эти реакции являются реакциями связей первого рода.

Кроме того, предполагается, что на систему S наложены другие связи, которые мы будем называть сервосвязями, также выражаемые конечными или линейными дифференциальными уравнениями, но осуществляемые совершенно иными силами; эти силы, которые мы назовем обобщенными реакциями связей или реакциями связей второго рода, приложены к телам системы и могут быть как внешними, так и внутренними.

К числу внешних относятся силы, действующие на расстоянии, например, электромагнитные или другие силы, автоматически регулируемые таким образом, чтобы обеспечить конечную или дифференциальную связь, которую они должны осуществлять; ими будут также контактные действия посторонних тел (препятствий), положение которых будет, как указывалось, зависеть

от q.....Ч, t движение которых должно автоматически регулироваться

таким образом, чтобы параметры q удовлетворяли в каждый момент времени некоторым конечным или дифференциальным уравнениям.

Внутренними реакциями связей второго рода будут либо действия на расстоянии, такие, как электромагнитные, либо внутренние усилия между телами, поддающимися сжатию или растяжению (сжатый воздух, мускулы живого существа), усилия, которые должны регулироваться автоматически, например по желанию живого существа, таким образом, чтобы осуществлять ту или иную связь. Кроме этого исключения, система не будет предполагаться деформируемой.

Система Е может быть образована, например, электродвигателем, угловая скорость О) которого не зависит от нагрузки, каким может быть в некоторых случаях синхронный двигатель. .Осуществляемая таким образом сервосвязь будет вида

rfe = О) dt.

Подобная система может быть также образована велосипедистом и его машиной. Велосипедист может сокращать свои мускулы не на заданную величину, а на величину, подобранную таким образом, чтобы оказались осуществленными некоторые связи, например он может регулировать действия ног таким образом, чтобы получать постоянную угловую скорость, или сокращать мускулы тела так, чтобы осуществлялся наклон рамы в виде определенной функции от / и т. д. Указанные ниже методы позволят изучить изменение неизвестных параметров.

Можно также представить себе, как пример, корабль 2, у которого часть груза з автоматически приводится в движение мотором таким образом, чтобы осуществились некоторые связи. Можно, например, в качестве условия сервосвязи потребовать, чтобы корабль был постоянно вертикальным, что можно осуществить при помощи стабилизатора боковой качки. Маленький гироскопический прибор, основанный на принципе стабилизатора Шлика (Schlick), укажет на борту истинную вертикаль; сервомотор вступит в действие, если эта вертикаль не будет находиться в плоскости симметрии корабля. Таким образом, можно регулировать движение груза <з так, чтобы осуществилась нужная зависимость между положением груза и наклоном корабля. Таким же образом можно изменять по желанию период колебаний корабля и избегать резонанса при качке. Можно, регулируя движение груза а, осуществлять такую зависимость между его положением и угловой скоростью корабля, которая позволит гасить колебания и т .д. Реакциями связей второго рода здесь будут взаимодействия между 2 и з.



и зависимостей)

Среди этих перемещений имеются такие, для которых можно заранее утверждать, что работа реакций связей второго рода равна нулю, не зная о самих связях ничего, кроме их способа действия. Мы будем предполагать, что это такие перемещения, которые совместно удовлетворяют J зависимостям

............. (4)

Тогда принцип Даламбера, приложенный к любому из этих перемещений, выразится уравнением

2 т {X" Ъх + у" Ьу + Z" bz)={Xbx-irYby + Z bz), (5)

где знак 2 левой части распространяется на все элементы системы, т- масса одного из этих элементов, х", у", z" - проекции его ускорения и знак 2 s правой части распространяется на все заданные силы X, У, Z. В самом деле, очевидно, что на этих перемещениях работа реакций связей, какими бы они ни были, первого или второго рода, равна нулю.

Это уравнение распадается на h-р - j уравнений, так как h элементарных вариаций Ьд, Ьд связаны р зависимостями (2) и j зависимостями (4), и поэтому только h - р - j из них будут независимыми.

Для составления этих уравнений мы применим метод множителей Лагранжа. Если выразить х, у, z при помощи уравнений (1) в функции д, ..., д, t, то левая часть уравнения (5) станет суммой h членов вида

где q обозначает любой из h параметров. Правая часть будет суммой h членов вида

и уравнение Даламбера напишется так

(Pi-Qi)59i+(P2-Qa)S?2+ ... +(Яй-дй)59й = 0. (8)

Мы будем говорить про материальную систему, у которой имеются реакции связей второго рода, что она содержит сервосвязи. Очевидно, что возможная работа реакций связей второго рода, вообще говоря, не будет равна нулю.

Условившись в этих определениях, допустим, что сервосвязи выражаются г соотношениями, из которых одни являются конечными, а другие дифференциальными вида

[ g{q,, : Яп 0 = 0.....

(г зависимостей) д + "2+ + h + dt = 0, (3)

Возможные перемещения системы, допускаемые контактными связями, такими, какие существуют в момент t (Ы = 0), мы получим, если выберем по произволу h - р вариаций 8, Ьд, р остальных вариаций определятся тогда из соотношений (2), которые приводятся здесь к следующим:

(р зависимостей) ВЬд-{- ... Ьд = О, (2)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [110] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004