Главная Промышленная автоматика.

в этой формулировке можно заменить функцию R любой другой функцией, которая отличается от нее только членами, не зависящими от ускорений, например, двумя следующими функциями:

т S i t"" - +""У" - +-

То, что ускорения обращают вторую из этих функций в минимум, является следствием принципа наименьшего принуждения Гаусса, к которому мы вернемся в конце следующей главы.

469. О невозможности охарактеризовать неголономную систему одной только функцией Т. Когда связи системы без трения могут быть выражены в конечной форме и когда применяют параметры, являющиеся истинными координатами, то можно пользоваться уравнениями Лагранжа. Допустим для простоты, что существует силовая функция U. Тогда можно написать уравнения движения, зная выражения кинетической энергии Т и силовой функции и через независимые параметры.

Наоборот, если связи не могут быть выражены все в конечной форме, то нельзя больще применять уравнения Лагранжа. Для того чтобы написать

уравнения движения, достаточно знать U и энергию ускорений S = тД

составленную из ускорений так же, как Т составлена из скоростей. Но необходимо ли это?

Не могут ли существовать уравнения движения более общие, чем уравнения Лагранжа, применимые во всех случаях и требующие для их составления лищь знания функций Т к [Л Мы сейчас докажем, что такие уравнения не существуют. Для этого укажем две разные системы, обладающие одинаковыми функциями Т и U, между тем как уравнения движения для них различны.

Первая система. Рассмотрим тяжелое твердое тело, для которого выполняются следующие условия:

Г. Тело оканчивается острым ребром, имеющим форму окружности К. радиуса а;

2°. Центр тяжести G тела находится в центре окружности К;

3°. Эллипсоид инерции в центре тяжести G является эллипсоидом вращения вокруг перпендикуляра Gz к плоскости окружности.

Допустим затем, что такое твердое тело катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, которой оно касается круговым ребром К-

Пусть, как в п. 411, Gz, - направленная вверх вертикаль, проведенная через G. Примем за ось Gx перпендикуляр к плоскости zGz и за ось Gy - перпендикуляр к плоскости xGz. Тогда Gx будет горизонталью плоскости окружности К, а Gy-линией наибольшего ската этой плоскости, упирающейся в точку, в которой эта окружность касается неподвижной плоскости. Обозначим через 6 угол оси Gz с вертикалью Gz, и через <Ь - угол оси Gz с неподвижной горизонталью. Эти два угла определяют ориентацию триэдра Gxyz. Чтобы зафиксировать положение тела относительно триэдра Gxyz, достаточно знать угол у между радиусом окружности К, неизменно связанным с телом, и осью их. Мгновенная угловая скорость » тела будет тогда



2Т = Л/ sin2 8 + (Л + а2) 6 + (С + а?) cos 6 + )2, U-ga sin е. J

Вторая система. Рассмотрим теперь другое тяжелое тело такой же формы, такого же радиуса а и той же массы, что предыдущее. Но допустим, что масса распределена иначе, а именно таким образом, что, обозначая через А, и С, моменты инерции, аналогичные Л и С, имеем

Л1 = Л, Ci = С + аХ

Подчиним это тело двум следующим связям: тело касается круговым ребром К неподвижной горизонтальной плоскости Р,, по которой оно может скользить без трения; центр тяжести G тела скользит без трения по вертикальной неподвижной окружности радиуса а, центр которой О находится на неподвижной плоскости Д.

Чтобы выразить эти связи, примем те же подвижные оси Gxyz и те же обозначения, что и выше. Обозначим через S, г\, С абсолютные координаты точки G относительно двух осей 0£ и Ог] в плоскости Р, и восходящей вертикали ОС Мы можем предполагать, что вертикальная неподвижная окружность, описываемая точкой G, лежит в плоскости Тогда имеем:

первая связь: С = а sin 6;

вторая связь: ii = О, £2 (и

откуда, очевидно,

£ = а cos 9.

При этих условиях

27-1 = + V + С + А, (р + q) + Cir\ или на основании значений £, ц. С, А, и С,

2Т, = Л4/2 sin2 9 -f (Л -f а"-) 9 + (С а) (ф cos 9 + У, Ul = - ga sin 9.

Мы видим, что функции Т и Т,, и к Ul тождественны. Но вместе с тем уравнения движения различны, так как ко второй системе применимы уравнения Лагранжа, а к первой системе уравнений Лагранжа применить нельзя. Это то, что мы желали показать. Можно заметить, что из трех уравнений движения два уравнения могут быть приведены к одной форме для обеих систем. Действительно, интеграл энергии будет, очевидно, одним и тем же для обеих систем. Кроме того, для первой системы мы имеем право написать уравнение Лагранжа относительно 9 (п. 464), что, очевидно, можно сделать и для второй системы. Но третьи уравнения будут различны для обеих систем; для второй системы имеет место интеграл г = Гд, который не существует для первой.

результирующей двух угловых скоростей: вращения триэдра и вращения с угловой скоростью = Y вокруг оси Gz. Следовательно, составляющие р, q, г будут

р = Ь, q = Y sin е, г = cos 8 + <р.

С другой стороны, так как окружность К катится, то квадрат скорости центра тяжести G равен а?-{р"--\-г). В результате, принимая массу тела за единицу и обозначая через А <л С моменты инерции относительно осей Gx и Gz, получим:

2Т = cfi ip"- + ri) + А(р--+ + Сг2, откуда окончательные выражения для функций Т п U будут:

/2 „,„о ft 1 / Л 1 fl/2



Таким образом, кольцо 2i следует за диском 2 во всех его движениях вокруг Д, не будучи непосредственно им увлекаемо. Очевидно, что характер поведения этой системы не имеет ничего общего с тем, что получилось бы, если бы диск 2 увлекал кольцо путем прямого контакта, например, если бы к Ej была прикреплена пластинка, упирающаяся в 2. В частности, в первом случае (сервосвязь) угловое ускорение системы не зависит от момента инерции кольца Hi, а во втором случае (прямой контакт) зависит от него (см. пример на стр. 351).

Выясним, каковы в этом примере реакции связей. Если рассматривать систему 22, то этими реакциями с одной стороны будут реакции

*) См. описание компаса Сперри (The Sperri Gyrocompass, 7).

Само собой понятно, что разница между обоими движениями обнаружилась бы непосредственно, если бы были составлены обе функции S и S,,

Замечание о связях, выражаемых нелинейными зависимостями между составляющими скоростей. Рассмотренные до сих пор неголономные связи, такие, как связи качения, выражаются линейными зависимостями между дифференциалами координат, определяющих положение системы. Но можно рассматривать связи более общие, выражаемые нелинейными соотношениями между этими дифференциалами. Принцип, изложенный в п. 468, позволяет исследовать и эти вопросы. (Аппель, Comptes rendus, 8 мая 1911; Rendiconti di Palermo, 1911.)

vn. Системы, содержащие сервосвязи

470. Сервосвязи. В замечательной диссертации «Теоретическое исследование гироскопических компасов Аншютца и Сперри», защищенной в ноябре 1922 г. перед Факультетом наук в Париже, Анри Бёген (Henri Begliin) ввел новое понятие о сервосвязях.

Существует важная категория механизмов, осуществляющих связи методом, совершенно отличным от тех, которые мы рассматривали до сих пор. Для такого рода механизмов нельзя отвлечься от способа осуществления связей.

Связи, осуществляемые этими механизмами, могут быть любыми; чаще всего они бывают голономными. Но связи эти осуществляются не при помощи простого контакта, так сказать, не пассивно. Их осуществление связано с использованием разных сил (электромагнитных, давления сжатого воздухч и т. д.) или, другими словами, с использованием вспомогательных источников энергии, которые автоматически вступают в действие и автоматически регулируются, причем так, чтобы в каждый момент осуществлять ту или иную связь. Этот механизм можно сравнить с живым существом, действующим непосредственным прикосновением и регулирующим свои усилия так, чтобы заданная связь осуществлялась.

Пусть твердое тело 2, например диск, движется вокруг диаметра Д под действием некоторых заданных сил. Тело Т.,, например концентрическое кольцо, охватывающее диск, движется вокруг того же диаметра Д, не имея никакого касания с телом Е. Кольцо Sj имеет на оси Д зубчатое колесо а, находящееся в зацеплении с шестерней Ь, насаженной на вал мотора М. Легко представить себе устройство *), которое, не действуя непосредственно ни на 2, ни на 2, приводит в движение мотор Л1 в ту или другую сторону каждый раз, когда Ё и 2[ не находятся в одной плоскости. Если а а а, - азимуты диска 2 и кольца 2, то осуществляется связь





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [109] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0059