Главная Промышленная автоматика.

равны нулю, то Находим

2 тх[ = 21пу[ = 2 inzl = 0. S = \MJl-\-\mj\,

что можно написать в виде

где через обозначена энергия ускорений, вычисленная для относительного движения вокруг центра тяжести.

Таким образом, мы получаем теорему, аналогичную теореме Кенига для кинетической энергии.

Применим изложенный метод к задаче об обруче, исследованной в п. 411 (рис. 244), сохраняя те же обозначения.

Примем массу обруча за единицу. Обозначим через ускорение точки О и через ii - относительное ускорение точки т обруча по отношению к осям с постоянными направлениями Ьхуг,, проходящими через точку G. Применяя предыдущую теорему, аналогичную теореме Кёнига, напишем

467. Теорема, аналогичная теореме Кёнига. Приложение К обручу. Пусть X, у, г - абсолютные координаты точки массы т в какой-нибудь системе отсчета; I, т), Х, - координаты центра тяжести О; X,, у,, 2i - относительные координаты той же точки по отношению к осям Qx,y,z,, проведенным через центр О параллельно неподвижным осям. Обозначим через абсолютное ускорение точки О:

yo = " + V + C"

и через У1 - относительное ускорение точки т относительно осей Ох,у,г,:

Обозначим, наконец, через М всю массу системы. Имеем:

x" = r+x;, y" = r(-\-yl, г" + Вычислим теперь энергию ускорений

S = \Yi"P=.\{x"- + y"zn. Так как величины

2 ftx,, 2 "Л- 2 >z.



dv dt

-{-Ru -Pw, -fPv - Qu,

или, на основании равенств (15), они равны

-a(r-Qp), -a(Pp + Rr), a(p+Qr).

Составляя сумму квадратов этих проекций и замечая, что Р = р, Q = q, найдем:

Л = + •) - За? (рг - гр) -f ,...

где мы не выписываем тех членов, которые не содержат р, q. г. Следовательно, окончательно имеем:

2S = (A-\- Ф) р"- -f Aq" -h (С -f д2) г"- -f

+ 2 (yiP - Cr) (pq - qp) - 2аЦ (pr - rp)-\-...

Обозначим по-прежнему через ВХ, Bfx, S» бесконечно малые углы, на которые нужно повернуть обруч вокруг осей Gx, Gy, Gz, чтобы перевести его из какого-нибудь положения в положение бесконечно близкое. Эти величины являются произвольными и вполне определяют перемещение обруча. Мы примем X, (а, ч за параметры q, q, q (k - V) и по-прежнему получим:

р = Х", ? = fA", r=v".

Тогда мы можем составить левые части уравнений движения вида (10). Остается определить правые части. Для этого необходимо вычислить сумму работ приложенных сил

(Xbx-YYbyJrZbz)

и привести ее к виду

и ВХ + Л1 BfA + л Ьч;

L, М, N будут тогда правыми частями уравнений. Эти величины имеют простой смысл. Проведем через точку Н касания с плоскостью три оси Нх, Ну, Нг, параллельные осям Gx, Gy, Gz. Тогда L, М, N будут соответственно суммами моментов приложенных сил, взятых относительно этих

Относительное движение обруча вокруг точки G является движением тела вращения, закрепленного в некоторой точке своей оси. Прилагая к этому движению обозначения предыдущего пункта, получим на основании равенства (14)

2Si = А (р"- + q-) + + 2 (Л/? - Сг) (pq -qp) ...

Остается вычислить Для этого обозначим через и, v, w проекции абсолютной скорости точки G на оси Охуг. Чтобы выразить, что обруч катится, надо написать, что скорость той материальной точки обруча, которая касается плоскости в точке Н, равна нулю. Таким образом, имеем:

a-\-ar = Q, v = i), w - ap = 0. (15)

Так как мгновенная угловая скорость триэдра Охуг есть Q, то проекции абсолютного ускорения точки О на оси Gxyz равны

" Qw-Rv,



пли, если принять во внимание значение S,

(А + аЗ) р (AR - Сг) q -\- аЦг = -ga cos 9,

Aq -\-(AR-Cr)p = Q,

(C-\-aP-)r - a?pq = Q.

Два последних уравнения совпадают с уравнениями (9) и (10) п. 411, а первое есть уравнение Лагранжа относительно 9 (п. 264).

Таким же путем можно исследовать общую задачу качения произвольного тяжелого тела вращения по плоскости. (См. Аппель, Developpe-ments sur une forme nouvelle des equations de la Dynamique, Journal de Matiiematiques de M. Jordan, T. VI, fasc. 1, 1900.),

Движение шара, катящегося по поверхности вращения, рассмотрено в ди:сертации Ф. Нётера (Fritz N о е t li е г), представленной Мюнхенскому университету в 1909 г. (изд-во Teubner).

468. Уравнения движения, получаемые путем нахождения минимума функции второй степени. Если составить функцию

R = S-{Q,q:Q,ql+ ... +Q,ql),

содержащую величины q" во второй степени, то уравнения движения (10) можно написать таким образом:

4 = 0, -?4 = 0..... -?4==0. (16)

dq, dq, dq

Уравнения (16) совпадают с уравнениями, которые приходится составлять, когда нужно найти значения q[, q, .... q", обращающие R

в минимум. Наоборот, значения q", получаемые из этих уравнений, обращают R в минимум, так как однородные члены второй степени в функции R входят в нее через 5 и образуют положительную квадратичную форму. Так как значения q" определяют ускорения, то можно истолковать этот результат, говоря, что значения ускорений в каждый момент обращают R в .минимум.

НОВЫХ осей. Действительно, так как скорость частицы, находящейся в точке Я при перемещении, допускаемом связями, равна нулю, то бесконечно малое перемещение обруча является результирующим трех элементарных вращений Ы, Ь}1, Ъ вокруг осей Нх, Ну, Hz, проходящих через точку Я. Это и доказывает предложение.

Если единственной заданной силой является вес g, приложенный в центре G, то, очевидно, имеем

Г = -йсо8в, Л1 = 0, N = 0. Тогда уравнения движения будут

dS dS dS г,

. = „acos6, =0, =0,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0042