Главная Промышленная автоматика.

ХЬх+ Yby = bK + Rbr

и уравнения движения будут

dS 5 Р дг" " дГ - г

Второе уравнение имеет вид

ml" = Рг.

Если Р равно нулю, то X будет постоянной, что дает теорему площадей.

Второе приложение. Твердое телО, движущееся вокруг неподвижной точки. Рассмотрим твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О, и вычислим энергию ускорений S, относя движение к системе осей Охуг, движущихся одновременно как относительно тела, так и в пространстве. Обозначим через Q мгновенную угловую скорость вращения триедра Охуг и через Р, Q, R-его составляющие по осям, через <в - мгновенную угловую скорость вращения тела и через р, q, г - ее составляющие. Частица т тела с координатами х, у, г обладает абсолютной скоростью v с проекциями

Vx = gz - ry,...

466. примеры. Первое приложение. Плоское движение материальной точки в молярных координатах. Пусть г и 6 -полярные координаты точки {х, у) массы т. Имеем:

л; = г cos е, у = г sin в, S = - у"2) = Кг" - гЬУ + (г6" + 2гвЯ.

Обозначая через Р составляющую приложенной силы X, Y по перпендиг куляру к радиусу-вектору и через R-ее составляющую по радиусу-вектору, непосредственно видим, что элементарная работа ХЬх-\-¥Ьу силы равна

PrU-\-R Ьг. Следовательно, уравнения движения будут

W - дг" -

/иг (re"-f 2/-е) = Рл m (г" - гб2) =/?.

Примечание. В выражении для S величина

r6"-f2/-e

представляет собой с точностью до множителя г производную от г"6. Введем теперь вместо 6 параметр I, дифференциал которого определяется соотношением

dl = г2 db,

а возможная вариация - соотношением

ВХ = ,-2 88.

Имеем:

Х = г26, Х" = г(ге" + 2/-е);

следовательно.



dt dt dt ,, dx dy dz

Ho , , - проекции относительной скорости частицы в ее движении

по отношению к осям Охуг. Так как эта относительная скорость есть геометрическая разность абсолютной и переносной скоростей, то

qz-ry-(Qz~Ry).

На основании этого имеем следующее выражение для j, которое мы располагаем по X, у, г:

Jx==-x{q + r-+y[q{p-Py+pQ-r\ + z{r(p-P) + pR + q]. (12) Аналогичные выражения получаем для jy и и тогда

2s = 2-(4+4+i)-

Вычисление этой суммы не представляет уже трудностей. Мы видим, что в результат войдут величины "тх", ту-, тг", "туг, тгх, "Утху, легко выражаемые через коэффициенты А, В, С, D, Е, F эллипсоида инерции в точке О, отнесенные к осям Охуг.

Для простоты мы напишем здесь эту сумму, предполагая, что оси Охуг суть главные оси инерции в точке О и обозначая через А, В, С моменты инерции относительно этих осей. Тогда, ограничиваясь членами с р, q, г, имеем

2S = Ар + Bq + Cr- + 2 [(С - В) <?r + Л (rQ - qR)\ р -f

-\-2[(A-C)rp+B{pR-rP)\ q

+ 2[(B-A)pqC{qP-pQ)]r- ... (13)

Уравнения Эйлера. Примем в качестве подвижных осей три оси, неизменно связанные с телом и совпадающие с тремя главными осями инерции. Тогда имеем

Р=.р, Q = q, R = r.

2S = Ар + Bq -f Cr" -f 2 (С - В) qrp -f

-2{A-C)rpq -\-2{B-A)pqr ...

Обозначим через L, M, N суммы моментов приложенных сил относительно этих осей и через ЬХ, Ьц, Ьч - элементарные углы, на которые нужно повернуть тело вокруг этих осей, чтобы перевести его из заданного положения в положение, бесконечно близкое. Пусть величины X, (i, v играют роль параметров q, q,.....q. Имеем, с одной стороны,

"(Xbx-j- Yby + Zbz) = LbX-\-Mbii + N04.

Абсолютное ускорение / этой частицы имеет проекции

J = ~Va,+ Qv-Rvy..... (11)

как это вытекает из того, что j есть абсолютная скорость точки с координатами Vy, Vg. Обозначая через р, q, г производные от р, q, г по времени, имеем:

dz dy



dl" di>." ~ d-У Так как составляющая R угловой скорости Q не зависит от л", ji", ч", то Ap - {AR - Cr)q = L, Aq -\-(AR - Cr)p = M, Cr = N.

Таким образом, мы получили опять уравнения (61) п. 400,

с другой стороны, так как составляющие мгновенной угловой скорости врат щения тела равны

р = -= Х. 9= = !, = = v,

то функция S будет

+ (С - В) (xvX" -{-(А -С) vXV" 4- (В - Л) X>v" + ,..,

где ненаписанные члены не содержат X", pi", V. Следовательно, уравнения движения имеют вид

dl" ф" dV ~

В частности, например, первое из них напишется так:

А1" + (С - В)у.ч =L,

что на основании значений р, q, г в точности совпадает с одним из уравнений Эйлера.

Тело вращения, подвешенное в mowe О своей оси. Проведем через точку О неподвижную ось Ог, и примем как в п. 400 (рис. 234) за ось Ог ось вращения, за ось Ох-перпендикуляр к плоскости гОг, и за ось Оу--перпендикуляр к плоскости хОг. Если положение триэдра Охуг будет известно, то для того, чтобы найти положение тела, достаточно будет знать угол <р, который образует с осью Ох неизменно связанный с телом отрезок ОА, выходящий из точки О и лежащий в плоскости ху. Производная <р этого угла по времени представляет собой угловую скорость собственного вращения тела вокруг оси Ог. Угловая скорость w тела будет тогда равна сумме угловой скорости Q триэдра и угловой скорости <р. Имеем, следовательно,

р = Р, qQ, r=/?-b<f.

Тогда, так как А = В, то функция S, определяемая выражением (13) обратится в следующую:

25 = А ip- + q") + Cr" + 2(AR- Cr) (pq -qp)+ ... (14)

Пусть по-прежнему ВХ, В[л, Bv - элементарные углы, на которые нужно повернуть тело вокруг осей Ох, Оу, Ог, чтобы перевести его из какого-нибудь положения в положение, бесконечно близкое, и L, М, N - моменты сил относительно осей Охуг. Как и выше, будем иметь

р = X", q = ц", г = V", и уравнения движения будут:

dS . dS ., dS





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039