Главная Промышленная автоматика.

и от других параметров u+i, 9fc+2. связаны с вариациями параметров q,, q,

89fc+2 = Pi 81+ p2 82 +

,, qp, вариации которых . qjc зависимостями вида

+ Pfc8%.

+ >-u89fc,

в которых коэффициенты а,, л,.....Xj. также зависят от и от

совокупности параметров д,, q,, . . ., q,, q,.....Як+р- При этих

условиях действительное перемещение системы за время dt определяется соотношениями вида

dx = а, dq, -\- а, dq, 4 • dy=bidq, + b,dq,+ . dzc,dq,-\-c,dq2+ •

совместно с соотношениями

dtJk + i =«1 dqi-ir<hdq,-\-«9fc+2 = Pl fii + р2 dq2-i-

+ adq,,-\-adt. -\-bkdqu + bdt, -i-Ckdqk + cdt

+a.kdqk + <dt, \

dqk+p\dq, + \dq,-{- ... --Ij.dqj.-i-kdt.

в которых коэффициенты а, bi, Cj, a, .....те же, что и в уравнениях (1) и (2). Коэффициенты а, Ь. с, ,.., а, .....X при dt,

если связи не зависят от времени, равны нулю.

Уравнения движения могут быть получены теперь следующим образом.

Общее уравнение динамики, выведенное из принципа Даламбера и принципа возможных работ, имеет вид

2 т (х" Ьх 4- у" Ьу 4- г" Sz) = 2 8х + К S/ 4- Z Ьг),

где х", у", г" - вторые произ.юдные от координат по времени, а X, Y, Z - проекции какой-нибудь заданной силы (п. 431).

Это уравнение должно иметь место при любых перемещениях (1), допускаемых связами; следовательно, оно распадается на k следующих уравнений:

2 т {х"а, + у"Ь, 4- z"c,) 2 («. + УЬ, 4- Zc, 2 т {х"а, + у"Ь, + г"с,) = 2 («2 + УЬг 4" 2).

2 т {х"а 4- у"Ь + г"с,) - 2 (-«й + УЬ,, 4- Zc).



В ЭТИХ уравнениях правые части вычисляются, как в уравнениях Лагранжа, а именно, заменяя Ьх, Ьу, Ьг их значениями (1), получим для суммы возможных работ приложенных сил

J,{Xbx+Yby + Zbz) = Q,bq, + Qbq.,+ ... +Q;,8ft.

Величины Qy, Q2, , Qh и являются правыми частями уравнений (6):

Q, = J,iXa,Yb,-Zc,),

dt

Для вычисления левых частей разделим соотношения (3), определяющие действительное перемещение, на dt и обозначим через х, .. / / dx dy dz dq, dq-i dqj,

У 2.....1. производные

Имеем:

z = cq[-cX+ +cq, + c. Взяв еще раз производные обеих частей по t, получим: x"=a,q; + aX+ .

Ненаписанные члены не содержат q, q, .... q. Но тогда, очевидно, имеем:

дх"

b - У"

дг"

< •

~dq[ •

дх"

b -У"

дч"г

дя1

~dql

Следовательно, уравнения движения напишутся так:

х"

дх" dq.

ду" dq.

дх"

ду"

= Q2,

Рассмотрим теперь функцию



dq, dq, dq

Мы видим, что для того, чтобы написать уравнения движения, достаточно вычислить только функцию S и выразить ее таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от параметров q,, 2.....Яч вариации которых рассматриваются как произвольные. Может случиться, что эта функция S, выраженная через q,,

q,.....Ятс+р будет содержать их производные первого порядка q,

q,.....qp и их производные второго порядка q, q",.....я1+р-

Тогда, деля обе части соотнощения (4) на dt, получим q,, q,.....

в виде линейных функций от q, q,.....q, дифференцируя которые

по времени мы получим q",, q",.....яр также в виде линейных

функций от q, q,.....9. Можно, следовательно, всегда сделать

так, чтобы функция S не содержала никаких других вторых производных, кроме q", q",.....q". При этом она будет содержать эти

величины во второй степени. Как только функция S будет таким образом преобразована, можно будет составить уравнения (10). Эти уравнения совместно с условиями (4) образуют систему k -\-р уравнений, определяющих q,, q,, ..., qjp в функции времени.

Следовательно, чтобы охарактеризовать движение, достаточно знать функцию S, которую называют энергией ускорения системы *), и величины .. ., Q, вычисляемые, как в уравнениях Лагранжа.

Функция S будет второй степени относительно q, q,.....q.

Очевидно, что достаточно подсчитать лишь те члены функции S, которые содержат вторые производные от параметров, так как остальные члены при вычислении частных производных по q[, q,.....q

ничего не дают.

Можно заметить на основании формул (7) и (8), что если составить выражение кинетической энергии

то коэффициенты при вторых степенях величин q\, q,.....9

в выражении для Т будут идентичны с коэффициентами при вторых степенях величин q[, q",.....q в выражении для 5. В этой функции 5 коэффициенты при вторых степенях величин q[, q,, ...,ql

зависят от параметров q,, q,..... и от времени; коэффициенты

же при первых степенях величин q, q,.....q содержат, кроме

того, вторые степени величин q.,q,.....яи-р-

*) Это наименование предложено А. де Сен-Жерменом (Comptes rendus, т. СХХХ). [Уравнения (10) называют уравнениями Аппеля (Прим. перев.).]

где j-абсолютное ускорение точки т. Тогда уравнения примут вид

= Q.. -i = Q2..... - = Q.- (10)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037