Главная Промышленная автоматика.

Тогда величины вида (18), являющиеся коэффициентами при х, у, г в выражении --равны нулю и AJ, равно -щ-. Следовательно, к параметру q, применимо уравнение Лагранжа. Этот случай может быть охарактеризован иначе. Предполагая, что выполнены условия (19), определим функции U,, V,, от q,, q.....q„

соотношениями:

я, Q, Qi

f a,dqi, V,= j hdq„ f Cydq,.

где q - произвольная постоянная и интегрирование производится по q,. На основании условий (19) непосредственно находим

где а° - величина, в которую обращается при замене q, постоянной Точно так же

dUi о dUi „

Аналогичные соотношения получаются для V, и W,. Мы можем тогда написать:

Zy bVy+bUq + • • . + bq, [ (20)

Таким образом, уравнение Лагранжа применимо к параметру д,, если для произвольной точки системы можно представить ох, ау, uz как суммы полных дифференциалов некоторых функций от qi, ft.....9и " дифференциальных выражений, не содержащих ft.

Например, при движении обруча уравнение Лагранжа может быть применено, как это уже отметил Ферре (Ferres, Quarterly Journal of Mathematics, 1871 -1873), к параметру 6. Действительно, если положение обруча относительно его своего центра тяжести О определяется значениями углов 6, ср, то координаты х,, у,, г, какой-нибудь точки обруча относительно осей Gx,y,z, будут функциями от 6, ср, ii:

t). .У.-Л(6. I). г1 = Л(9. Т. t)-



Абсолютные координаты х, у, г той же точки относительно неподвижных осей 0\f(, будут иметь вид

х = + /(0. (р. ф).

2 = !;-4Л(б. ср. ф).

Сообщим системе возможное перемещение, допускаемое связями. Имеем:

8х = 3-[-с/, u y = 87j-)-3/j 02 = 5!1--3/2,

где 0$, Зт), ¥, нужно заменить их значениями (8). Но мы непосредственно видим, что эти значения могут быть представлены в виде

3 = о (- а sin 4* cos 6) - а cos Ь Sep,

Зт) = 3 (а cos ф cos 6) - а sin ф ёср,

3!: = 8 (а sin 9).

Следовательно, для 8х, Ьу, Ьг окончательно имеем выражения: 8х = 8 (- а sin (]; cos 9 -)-/) - а cos ф оср, 3 у = 8 (а cos ф cos 9 + Л) - а sin ф Зср, 82 = 8 (а sin 6-1-/2),

которые имеют вид уравнений (20). В самом деле, в рассматриваемом случае мы имеем три независимые вариации 89, 8ср, 8ф, и мы видим, что каждая из величин Зх, Ьу, Ьг может быть представлена как сумма полного дифференциала и дифференциального выражения, не содержащего 6. Следовательно, для параметра 6 можно написать уравнение Лагранжа.

Кинетическая энергия обруча, если его массу принять за единицу и пользоваться обозначениями п. 411, будет

2Г = «2+ г/2 -t- вд2 4- Л (р2 -f q2) Cr,

или, так как и = - аг, г = 0, w = ap, то

2Г = (Л + а2);?2 4. (С + а) г.

Это выражение можно было написать заранее, замечая, что скорость частицы Н, находящейся в соприкасании с поверхностью, равна нулю и, следовательно, скорости различных точек обруча будут такими, как если бы обруч вращался с угловой скоростью ш вокруг мгновенной оси, проходящей через Н. В этом выражении для 27 нужно заменить р, q, г их значениями (п. 411):

р=Ь, 9 = tLsin9, г = cos 9-f-ср.

С другой стороны, существует силовая функция

U - g - gas{n%.



d ( дТ\ дТ dt \ ав j "~

Так как только р содержит 9, то

={А + а)р, и так как q н г зависят от 9, то

= AqY cos 9 - (С + а2) sin 9. Таким образом, имеем уравнение

(А- AqY cos б --(С + а) sin 9 = - ga cos 9,

которое представляет собой не что иное, как уравнение, получаемое исключением Z из третьего уравнения (6) и первого уравнения (7) п. 411.

К этому уравнению можно присоединить уравнение энергии

поскольку связи не зависят от времени. Однако мы не имеем права писать уравнения Лагранжа относительно ср и

465. Общая форма уравнений движения, пригодная как для голономных, так и для неголономных систем *). Рассмотрим систему, подчиненную таким связям, что для получения наиболее общего перемещения, допускаемого связями в момент t, достаточно сообщить k параметрам q,, q.....ft произвольные вариации 8ft, 8ft.....8ft.

Если мы обозначим через х, у, г координаты произвольной точки системы относительно неподвижных осей, то проекции возможного перемещения этой точки системы на эти оси будут следующие:

Ьх = flj 81 Н- аг 5ft + ... + ft 8ft, 83; = *,8ft + *26ft+ ... +bubqu, Ьг = Ci Ьг, + £2822+ ... 4- Си bq.

где 6ft, 6ft.....6ft произвольны. В этих формулах коэффициенты ft,

ft.....с могут зависеть от времени t, от параметров q,, ft.....ft

*) Аппель, Comptes rendus, 7 август 1899; Crelle, т. 121; Journal de Jordan, т. VI, 1900.

Мы только что видели, что одним из уравнений движения обруча является уравнение Лагранжа относительно 9:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [105] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004