Главная Промышленная автоматика.

Л, dq,-\-A,dq2-\- ... + dq = О, \ Bidq. + Bdq ... Bdqj, = 0.

Ц dq, -\-L2dq2+ ... + dq, = 0,

(13)

выражающими, что действительное перемещение тоже допускается наложенными связями, определяют q,, q,.....q и \, \.....Х.

Такой метод был использован Раусом (Advanced rigid Dynamics) и Фиркандтом (loc. cit. стр. 47-50).

464. Невозможность прямого применения уравнений Лагранжа к минимальному числу параметров*). Мы только что видели, как можно при помощи метода множителей использовать уравнения Лагранжа для связей, определяемых соотношениями (11).

Но можно было бы попытаться привести число параметров к возможно меньшему числу, воспользовавшись соотношениями (11), чтобы получить наименьшее число параметров в выражении возможного перемещения, и воспользовавшись соотношениями (13), чтобы получить наименьшее число параметров в выражении кинетической энергии

Однако после таких преобразований уже нельзя будет применить уравнения Лагранжа. Сейчас мы это докажем.

Возможное перемещение, допускаемое всеми связями, наложенными на систему, определяется для точки х, у, г равенствами:

J дх , dx , , дх

в которых 81, 82. Цк связаны р соотношениями (11). Определим из этих соотношений р вариаций 8, bqk ,.....S-p+j как

однородные линейные функции остальных. Подставляя найденные значения вариаций в Ьх, Ьу, Ьг и полагая n = k-р, получим:

8х = 0181+ 02 82+ ••• +«„8». byb,bq,-b2bq2+ ... + bjq„,

Ьг = с, bq, -1- С2 82 + • • • + с„ Яп-

(14)

*) Аппель, Les mouvements de roulement en Dynamique (Collection Scientia, Oauthier-Villar).

где все выражаются теми же равенствами, что и выше. Эти уравнения вместе с р следующими уравнениями:



или, пользуясь для производных обозначениями Лагранжа,

г = Ciq[ + cq + • • + nq-

Попытаемся для первого уравнения (15) следовать методу, который приводит к уравнениям Лагранжа. Мы допустим для упрощения, что коэффициенты а,, Ь,, с„ Cj, bi, Сг, а, Ьп, с„

зависят только от ft, ft.....ft. Тогда первое из уравнений (15)

(а= 1) можно написать в виде

2иKx + У + c.гO-/?, = Q,. (16)

dt где

,, , дх ду дг

по так как а„ ft, с, равны, очевидно, --г. то пер-

dq, dq, dq.

вый член уравнения (16) равен

d dt

так же, как и в уравнениях Лагранжа. Но второй член R, не будет, вообще говоря, равен Действительно, имеем

дТ S:> I , дх . , ду . , дг

Г \} ( , дх , , ду , , дг\

где 8ft, 8ft.....8ft теперь уже произвольны. Внося значения 8х,

by, Ьг в общее уравнение динамики, мы получим соотношение, в котором коэффициенты при 8ft, 8ft.....8ft должны быть равны нулю.

Таким путем получаются уравнения движения (п. 433):

. (а= 1, 2.....и),

где буквами Q„ обозначены правые части.

Кроме того, так как в рассматриваемом случае действительное перемещение допускается связями, то на основании равенств (14)

fi(x=:aidft--ftrfft-l- ... 4-a„rfft,



Следовательно, дТ

Но так как, по предположению, коэффициенты а,, Ь,, функциями параметров q,, q,.....q, то

являются

da, да, , да, , да.

Дифференцируя по q, написанное ранее выражение для х\ получим

дх да, , . да

2 I dUfi I

Следовательно, коэффициент при х в разности R,

дТ dq.

равен

в общем случае он отличен от нуля. Коэффициенты при у и г имеют аналогичную форму. Следовательно, разность R,--если

заменить в ней х, у, г их выражениями через переменные q,, q,, будет в общем случае квадратичной формой от q[,

q,, q\ Для того, чтобы R, равнялось -щ-, т. е. чтобы к параметру q, было применимо уравнение Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы эта квадратичная форма была тождественно равна нулю, каковы бы ни были q к q

Частные случаи. Г. Если выражения (14) для 8x, 8 у, 8z являются полными дифференциалами, то все величины вида

дa да. dbi дЬ,, dci дс, Sql~Wi W.~~dql равны нулю. Тогда будут равны нулю также выражения вида (17) и для всех параметров будут применимы уравнения Лагранжа. В этом случае можно будет проинтегрировать равенства (14) и выразить х, у, г в конечной форме через q,, q,.....q„. Система будет голономной.

2°. Случай, когда уравнение Лагранжа применимо к параметру q,. Допустим, что для всех точек справедливы соотнощения:

да, duj да, да да, да

dq2 ~~ dq, dq ~"dqdq

dbi dbfi

dq,

dqs dq, dc, dc

dq dq.

dc, dCn

Sq~"dq[





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036