Главная Промышленная автоматика.

по легко устанавливаемым формулам (п. 382) получим: 6 cos ф + ср sin 9 sin ф, ft = 6sin ф -9sin 6 cos ф, (2)

г, =:!))+ cos 9,

где через 6, <f< Y обозначены производные ~> Тогда соотно-

шения (1), выражающие, что действительное перемещение является качением, напишутся в виде

di - а sin ф rf9 -f- а sin 9 cos (j; dcp О,

dy\-\-a cos ф fi(9 -- a sin 6 sin (j; dcp = 0.

Точно так же возможные перемещения, допускаемые связями, характеризуются соотношениями:

8$ - а sin (j; 89 -(- а sin 9 cos (j; Sep = О,

St) -(- a cos (j; 89 -(- a sin 9 sin (j; Sep = 0.

Так как координата С постоянна, то положение системы зависит от пяти параметров -ц, 9, , (j;, связанных соотношениями (4), левые части которых не являются полными дифференциалами и не могут быть проинтегрированы. Система имеет три степени свободы, так как 89, 8, Щ остаются произвольными, а 8 и 8тг1 определяются соотношениями (4).

Второй пример. Обруч. Рассмотрим обруч радиуса а, который катится и вертится по неподвижной горизонтальной плоскости П, как в п. 411,

Выберем неподвижные оси OS, От] в плоскости, а неподвижную ось Оч направим вертикально вверх. Обозначим через 1, т), С координаты центра тяжести G обруча относительно этих осей и через 6, 9, ф - углы Эйлера, как в п. 411, определяющие положение обруча относительно осей Охуг,, параллельных неподвижным осям 0г[,. Проекции скорости V центра тяжести G на неподвижные оси 0т]С. а также и на параллельные им оси Охуг, равны

. . . (V)

dt dt dt

С другой стороны, точка касания Н обруча с плоскостью П (рис. 244) имеет относительно осей Охуг, координаты

Xi = a cos 9 sin у, = -а cos 9 cos (j;, г, = -а sin 9. (5)

Для того чтобы выразить, что обруч катится и вертится по плоскости П, нужно написать, что скорость материальной точки, находящейся в Н, равна нулю. Обозначим через Piftri составляющие по осям Gxiyz, мгновенной угловой скорости (О обруча и заметим.



ЧТО скорость материальной точки, находящейся в Н, есть результирующая скорости, вызванной переносным движением осей Охуг,, и скорости, вызванной вращением вокруг точки G с угловой скоростью (О. Следовательно, выразив, что три проекции скорости материальной точки Н равны нулю, имеем:

+ г,х,-ол== О,

На основании написанных выше выражений (2) для р,, q,, г, и значений (5) для х„ у,, г, мы видим, что предыдущие условия (6) после очевидных преобразований приводятся к виду

d\ - а sin ф sin 9 fi(9 -- а cos ф cos 6 -f- а cos ф dcp = О,

d-ri + acos (j; sin 9 d9 -j- а sin (j; cos 9 rftj; -- a sin (j; rfcp = 0, (7)

dC - acos9d6 ==0. ,

Эти соотношения выражают, что действительное перемещение является качением.

Точно так же, выражая, что возможные перемещения, допускаемые связями, суть качения обруча по плоскости, мы получим для дифференциалов 8, 87), SC, 89, 8ср, Щ, определяющих эти перемещения, уравнения:

Ь% - а sin (j; sin 6 89 -(- а cos cos 6 8ф -- cos ф 8cp = 0,

87]-(-a cos tj>sin 6 89 --a sin (j;cos 6 8ф-[-asin 8cp 0, (8)

8;; - a cos 9 86 =0. ,

Последнее из соотношений (7) или (8) эквивалентно конечному соотношению

; = asin6,

которое очевидно и геометрически, если вычислить расстояние С от точки О до плоскости П. Но два первых соотношения (8) не могут быть проинтегрированы и написаны в конечной форме. Мы видим, следовательно, что рассматриваемая система не будет голономной. Эта система имеет три степени свободы, так как наиболее общее возможное перемещение, допускаемое связями, получится, если задать перемещениям 86, 8ср, Ц произвольные значения; после этого 85, Ь-ц, 8С определятся из соотношений (8).

463. Применение уравнений Лагранжа в сочетании с методом множителей. Рассмотрим некоторую систему, подчиненную сначала связям, выражаемым конечными соотношениями между координатами различных точек системы. Пусть при этих связях положение



системы определяется k независимыми параметрами q,, ft.....ft.

Полагая, что связи не зависят от времени, мы будем для координат произвольной точки системы иметь:

x=fiqi, ft.....ft),

3 = =p(ft. ft.....ft),

z-Hlu Ч2.....Ik)-

Сообщая параметрам q,, ft.....ft вариации 8,, 8ft.....Sft,

мы получим перемещение, допускаемое этими связями, и общее уравнение динамики примет вид (п. 441)

(Р-дОЧ + С/г-2)82+ • -Qfc)Sft=-0, (10)

I дТ

[dq:

дТ dq

Если никаких других связей нет, то bq,, 8ft.....8ft будут произвольными и из уравнений (10) получим k уравнений, которые будут уравнениями Лагранжа.

Допустим теперь, что к предыдущим связям присоединены новые, не зависящие от времени связи, выражаемые неинтегрируе-мыми дифференциальными соотношениями между параметрами q,, ft, . . ., ft. Для возможного перемещения, допускаемого этими связями, имеем р уравнений:

А, 8ft 4- Лз 8ft -I- . . Bi8ft + B2Sft+ •

L, 89,4- L2

+ fc8ft = 0. -bBs8ft = 0,

(11)

в которых левые части не являются полными дифференциалами и не допускают интегрируемых комбинаций-

При этих условиях уравнение (10) должно иметь место для всех перемещений 8ft, 8ft.....8ft, удовлетворяющих соотношениям (11).

Тогда по методу множителей Лагранжа уравнения движения будут:

Pi = Qx + \А, + + • • + Vl. P = Q2 + \A-\B+ ... +УрЦ,

Pk=-Qk + \A + hBk+ ... +\L,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004