Главная Промышленная автоматика.

твердое тело вращения, движущееся вокруг неподвижной точки О, находящейся на пересечении его оси вращения vv и оси подвеса АА. Кроме того, ось вращения vv не может двигаться иначе, как в неподвижной относительно Земли вертикальной плоскости.

С помощью винтов V и v, винтов и и и и противовеса р, скользящего с сильным трением по игле, которая служит продолжением оси vv тора, можно добиться того, что центр тяжести б подвижной системы расположится на оси vv тора немного ниже точки О. Если тор не вращается, то получится при этом физический маятник, подвешенный на оси АА. Этот маятник находится в положении устойчивого равновесия, когда игла vp, т. е. ось тора, вертикальна. Теперь, сообщив тору при помощи какого-либо механизма очень быстрое вращение вокруг его оси, надо опять положить рамку на ее опору, управляя вилками F и F так, чтобы лезвия ножей А и А в точности заняли предназначенные им горизонтальные положения. С этого момента и начнут развиваться слабые, но вполне заметные явления, обнаруживающие вращение Земли. Система примет новое кажущееся положение устойчивого равновесия, при котором ось тора не будет уже вертикальной, а будет образовывать с вертикалью малый угол Е, который будет тем больше при одной и той же скорости, ч,ем ближе будет вертикальная плоскость, в которой движется ось тора, к плоскости меридиана. При наиболее благоприятных условиях, когда вертикальная плоскость, в которой движется ось тора, установлена в плоскости меридиана, угол отклонения Е оси тора от вертикали заметен очень отчетливо. Он будет тем больше, чем больше собственное вращение тора и чем меньше расстояние OG от центра тяжести до оси АА. Отклонение Е будет происходить к северу или к югу в зависимости от направления вращения тора. Это легко объяснить, применяя к рассматриваемому случаю установленные выше общие формулы.

Плоскость, в которой движется ось Ог тела (рис. 269), является в данном случае плоскостью POP меридиана, проходящего через точку О. Для применения общих формул мы должны принять эту плоскость за плоскость л:у и в качестве оси х взять проекцию на плоскость хОу вектора О» угловой скорости, равной и параллельной угловой скорости Земли. В рассматриваемом случае О<о совпадает с Ох.

Отметим направленную вниз вертикаль 0V. Она будет находиться в плоскости уОх и будет составлять с осью Ох угол

являющийся дополнением широты X точки О.

Косинусы а, Ь, с углов, которые образует вертикаль О К с осями Охуг, будут

л = - sin X, b = cos X, с = О,

и член л sin ф - * cos 4, входящий в интеграл (4), имеет значение

- cos (X - ф).


Рис. 269.

Следовательно, так как угол я равен нулю, то два полученных выше первых интеграла (2) и (4) будут теперь:

Cf ш sin ф - Й = л -j- О) sin фо,

Л -f С = - 2Mgl cos (X - ф) -Ь Л,



где и -начальное значение tf, т. е. начальное значение угловой скорости тора.

Исключим из уравнений (6) <р и пренебрежем малой величиной «2; тогда для нахождения ф получим уравнение

А - 2пСи> sin ф = - 2Mgl cos (X - t}-) + /, (7)

где /- новая постоянная.

Введем вместо ф угол Е, образованный осью гироскопа с вертикалью. Так как этот угол считается положительным от Ох к Оу, то

= ф--. = у + Х,

Е = JcOZ - JcOV = •1- X - п. Уравнение принимает вид

ЛУ = 2nCtosin(E + X)-b2Al/ cos E+f.

Это уравнение при помощи нового изменения начала отсчета углов можно легко привести к совпадению с уравнением движения математического маятника. Ограничимся определение.м положения равновесия оси. Мы найдем это

положение, разыскивая значения Е, обращающие в нуль , т. е. произ-

водную правой части. Таким путем получим

пС 0) cos (Е + X) + Л1/ sin Е = 0,

. „ птС cos X

2=-уИ/ „<оСэ1пХ •

Мы определили угол Е, который получается между осью тора и вертикалью после нескольких колебаний по ту и другую сторону от направления, определяемого осью тора.

Так как и> очень мало, то знак знаменателя совпадает со знаком Mgl, т. е. знаменатель имеет знак -f. Следовательно, tg Е имеет тот же знак, что и величина -л. Если л положительно, т. е. тор вращается в положительном направлении вокруг оси OG, то отклонение произойдет к северу, так как угол Е отрицателен. Если л отрицательно, то отклонение произойдет к югу. Мы видим, что при равных по абсолютному значению угловых скоростях вращения отклонение получается более сильное, когда л положительно.

VI. Системы неголономные

462. Формы уравнений связей в неголономных системах. Мы

уже говорили, что система называется неголономной, если некоторые из наложенных на нее связей не могут быть выражены в конечной форме, но выражаются аналитически дифференциальными соотношениями.

Такие случаи имеют место каждый раз, когда твердое тело должно вертеться на неподвижно.й поверхности и катиться по ней (например, обруч, велосипед). Действительно, положение совершенно сво-одного твердого тела зависит от шести координат, которыми являются.



*) См. также С. А. Чаплыгин, Исследования по динамике неголономных систем, Гостехиздат, 1949. {Прим. перев.)

например, три координаты центра тяжести и три угла Эйлера. Чтобы выразить, что тело вертится на неподвижной поверхности и катится по ней, надо написать, что скорость частицы, которая касается поверхности, равна нулю. Если обозначить через q,, q,, q, q, 5, q. щесть координат, то это условие выразится соотношением вида

A,dq, + Adq, +-...+ Adq = 0.

в котором коэффициенты суть функции координат q,, q,,... , q, но в котором левая часть не будет в общем случае полным дифференциалом и не имеет интегрирующего множителя.

Следовательно, связь, наложенная на тело, не может быть выражена в виде соотнощения в конечной форме между координатами. Вследствие этого при приложении общих теорем аналитической механики возникают особые трудности, из которых наиболее существенной является невозможность применения уравнений Лагранжа, если при преобразовании выражения кинетической энергии Т приходится принимать в расчет такие связи.

Трудности, возникающие с этой точки зрения от такого рода связей, были отмечены и изучены К. Нейманом (С. Neumann, Grundziige der- Analytischen Mechanik, Berichte der Icunigl. saclis. Gesellsciiaft der Wissenscliaften zm Leipzig, 1888), Фиркандтом (Vierkandt, Ueber gieitende und rollende Bewegung Monafslieft fur MathematiK und Physik, т. Ill, 1892), Адамаром (Hadamard, Sur les mouvements de roulement, Societe des Sciences de Bordeaux, 1895), Карвалло (Carvalio) в работе, помещенной в Journal de IEcole Polytechnique, 1900, и Кортевегом (Korteweg, Nieuw Archief, 1899) *).

Первый пример. Рассмотрим однородную сферу радиуса а, катящуюся по неподвижной плоскости. Примем за неподвижные оси две оси Ог, От] в плоскости и ось О,, перпендикулярную к плоскости и направленную в сторону, где находится сфера. Пусть , -ц, С - координаты центра О сферы относительно этих осей (С = а). Проведем через О три оси Qx,y,z,, параллельные Olrf,, и обозначим через р,, q,, г, составляющие мгновенной угловой скорости вращения сферы по этим осям. Выражая, что находящаяся в соприкосновении точка сферы имеет скорость, равную нулю, имеем

i-a.i=o. g+a;i = o. g = o. (1)

с другой стороны, если обозначить через 9, ср., ф углы Эйлера между осями Oxyz, связанными с телом, и осями Ox,y,Zi, то





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [102] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037