Главная Промышленная автоматика.

Вектор а, проекции которого на подвижные оси равны

m(yz--zy), m{zx - xz), т{ху - ух),

есть главный момент относительно точки О количеств относительного движения, и мы непосредственно имеем:

Т* =.ша cos ша.

Преимущество геометрических форм, которые мы дали величинам К, Тг, Т, Т*, заключается в том, что в каждой конкретной задаче они непосредственно выражают эти величины в функции 9, и 9 и нет необходимости прибегать к преобразованию координат.

458. Приложение к относительному движению тяжелой системы по отношению к Земле, принимая во внимание также вращение Земли.

Представим себе в некоторой точке О земной поверхности тяжелую систему S, подчиненную заданным связям. Мы ставим себе задачей изучить ее относительное движение по отношению к осям Охуг, связанным с Землей и увлекаемым ею в ее вращательном движении вокруг линии полюсов РР (рис. 266). Если по методу Жильбера мы проведем через точку О оси OxiyiZ,, имеющие постоянное направление в пространстве, то движение триэдра Охуг относительно этих вращательным с угловой скоостью w, равной угловой скорости будет происходить вокруг оси Оа>, параллельной направлению РР, с юга на север.


осей будет Земли. Оно

Величины Т, Tg, Т* вычисляются так, как было указано выше. В частности, 7"е равно 2" Яш-, где Я-момент инерции материальной системы 5

относительно оси Ою в момент t. Вычислим К и силовую функцию U действительно приложенных сил (притяжение Земли). Мы знаем, что вес mg произвольной точки системы S есть равнодействующая притяжения и центробежной, силы Ф = /ии)2р (п. 424). Применяя точку зрения Жильбера, мы будем рассматривать ускорение g как постоянное по величине и направлению относительно Земли во всем объеме системы S, размеры которой мы будем предполагать очень малыми. Постоянное направление g совпадает с нисходящей вертикалью 0V точки О. Силами, действительно приложенными, являются силы притяжения А Землей раз.чичных точек т системы 5. Но так как mg есть геометрическая сумма сил Л и Ф, то Л есть геометрическая разность сил mg и Ф. При любом перемещении, сообщаемом точке т, работа силы А равна разности работ сил mg и Ф. Следовательно, окончательно, силовая функция U действительно приложенных сил Л равна разности силовой функции сил веса и силовой функции сил Ф, а так как высота центра тяжести О над горизонтальной плоскостью в точке О равна

0G cos OGK, то силовая функция для сил тяжести равна MgOU cos GOV, где М - вся масса системы.



на QQi или на параллельную ей прямую OR, т. е. она равна 0G cos GOR. Следовательно,

и = MgO G cos GO К - Y Яша.

Но мы можем вычислить момент инерции Я, относительно оси РР через момент инерции Я относительно оси Ош, параллельной оси РР. В самом деле, если через п d обозначить расстояния GQt и GQ от центра тяжести G до параллельных осей РР и Ош, то по известной теореме (п, 317)

H, - H=M{d{ - d).

С другой стороны, из треугольника GQQi, обозначая через 8 расстояние QQ, очевидно, равное расстоянию OR от точки О до земной оси, имеем

d\ - d = 5 - 2d 8 cos GQQi.

Величина cos GQQ, есть проекция QG на QQ,. Она равна проекцииО ллельную ей прямую OR, т. е. она

Я1 = Я+ (82 - 2 800 cos 6oR). Поэтому

и = MgOG cos GOV- Яш2 + Мш2 ЬОО cos GOR - у ч>М 82.

Для того чтобы получить значение К, заметим, что начало О системы отсчета Охуг вследствие вращения планеты описывает вокруг РР окружность радиуса В с постоянной угловой скоростью ш. Следовательно, ускорение J имеет значение аЪ п оно направлено or О к R. Отсюда на основании того, что общее выражение К есть - MJ • 0G cos jOG, имеем

К = - jMa)2 80G cos GOR.

Наконец, находим

и+К = MgOG cos GOV - Яш2 - i- аШ Ы,

где последний член есть постоянная, которая при дифференцировании пропадает. Кроме того, на основании найденного значения Те имеем

Г = Г, + + Г = Г, + 7" + -1 Яа.2.

Силы Ф нормальны к земной оси РР. Поэтому, обозначая через р расстояние от точки т до этой оси, мы получим для элементарной работы одной из сил Ф значение

„ . . то)2ра тш2р яр = я .

Совокупность этих сил имеет силовую функцию

12moo3p2 = i-Wio.2,

где - момент инерции "Щ- системы относительно оси Земли РР-Отсюда для функции U, равной разности двух предыдущих функций, получаем



Если теперь обозначить через q, q,, qj параметры, определяющие положение системы относительно осей Охуг, то уравнения относительного движения будут

\ dq[ ) dq, "

дТ d(U+K)

0 = 1, 2.....k).

Если заменить 7" и/7 +/С их значениями, то дополнительно получатся важные сокращения. Преаде всего величина 7 = ~ Яш2 зависит только от рассматриваемого положения точек, но не зависит от их скоростей. Сле-

довательно, эта величина не содержит q,, q,.

Як и

равно нулю.

дТ" „ , , 1 dHmi

Далее член - - в левой части равенства (а) равен члену - -

oq, 2 oq,

в правой части. Остаются, следовательно, уравнения

d д(Тг+Т*) д{Тг + Т*)

= Mg

д (00 cos боУ) dЯ.

. С = 1. 2.....k). (b)

Это и будут уравнения, определяющие относительное движение тяжелой системы на поверхности Земли. Мы видим, что для их составления достаточно вычислить Тг, Т* и 00 cos 6dv.

459. Пример. OdHopodnoe тяжелое тело вращения подвешено в точке О своей оси симметрии 0Z. Кроме того, эта ось должна оставаться в некоторой плоскости, неподвижной относительно Земли. Найти движение тела относительно земных предметов, принимая во внимание вращение Земли.

Пусть OXYZ (рис. 267) - связанные с телом его главные оси инерции для точки О и пусть Охуг - связанные с Землей оси, относительно которых надо найти движение. Выберем в качестве плоскости ху ту плоскость, в которой движется 0Z и в качестве оси Ох - проекцию на эту плоскость вектора Ош, равного вектору угловой скорости вращения Земли (ось 0(0 параллельна земной оси и направлена с юга на север). Выберем направление оси Ог относительно плоскости хОу в ту же сторону, куда направлена ось О». Центр тяжести G предполагается лежащим на положительной части оси 0Z на расстоянии 0G = I от неподвижной точки.

Положение тела относительно осей Охуг зависит от двух параметров, например, от углов Эйлера f и ф, образуемых осями X,Y, Z с осями х, у, г.

Третий угол Эйлера 6 в рассматриваемом случае равен , так как

Вычислим Тг и Т*. Величина Ту есть кинетическая энергия тела в его движении относительно осей Охуг. Движение тела относительно этих осей


Рис 267.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037