Главная Промышленная автоматика.

функция ТОЛЬКО расстояния между ними, то сумма элементарных работ внутренних сил будет полным дифференциалом некоторой функции взаимных расстояний. Действительно,- в этом случае мы имеем:

и каждый член суммы Fkdrpt элементарных работ внутренних сил, а следовательно, и вся сумма будет полным дифференциалом.

339. Случай, когда теорема кинетической энергии дает первый интеграл. Если сумма элементарных работ всех сил, как внешних, так и внутренних, при действительном перемещении системы является полным дифференциалом некоторой функции U {х,, у,, 2i.....Хп, Уп п) от координат точек системы, то

где h - произвольная постоянная, называемая постоянной энергии. Полученный таким образом первый интеграл есть интеграл энергии.

Такой случай имеет место, например, когда внутренние и внешние силы зависят только от положений точек, но не от их скоростей

и имеют силовую функцию U (х,, у,, ..... х„, у, г„).

Однако это может случиться и тогда, когда некоторые силы зависят от скоростей и времени, но сумма работ этих некоторых сил обращается в нуль при действительном перемещении, а сумма работ остальных сил является полным дифференциалом некоторой функции и от координат.

340. Размерности. Пусть в качестве основных единиц приняты единицы длины, времени и массы. Тогда, как известно, если единицу длины уменьшить в X раз, единицу времени в т раз и единицу массы в А раз, то выражение какой-нибудь длины умножится на X,

выражение массы умножится на (х и скорости - на Следовательно,

-J- умножится на . С другой стороны, выражение силы умножится на и поэтому выражение работы

(произведение силы на длину) умножится на .Следовательно,

равенство (2), выражающее теорему кинетической энергии однородно (п. 76); обе его части имеют одинаковые размерности. Если, например, работа выражена в килограммометрах, то кинетическая энергия будет также некоторым числом килограммометров. Если работа выражена в эргах {эрг - единица работы в системе CGS), то в тех же единицах будет выражена и кинетическая энергия.




Рис. 190. /(ЛОТ ,

Следовательно, если через v и v обозначить обе скорости, то по теореме кинетической энергии получим:

d =rfr - йр-- rfp.

Мы имеем как раз случай, указанный в предыдущем пункте: правая часть этого равенства есть полный дифференциал, и поэтому существует

mvi , оти2 fmm , fu.m , fu.m , , интеграл энергии ---- ~ ~--Ь -h --Ь

342. Деление сил на силы задаваемые и реакции связей.

В предыдущем мы разделили совокупность всех сил, приложенных к системе, на две категории: на силы внешние и силы внутренние. Такое деление, как мы это увидим в разделе V, особенно важно в теории энергии. Но во многих вопросах теоретической механики, и особенно в аналитической механике, целесообразно делить все силы, действующие на систему, на две категории: на реакции связей, вызванные связями, наложенными на систему, и на силы задаваемые, характеризующие все другие воздействия на систему. Именно так классифицируют силы, когда ищут условия равновесия при помощи принципа возможных перемещений (п. 157).

Мы можем теперь выразить теорему кинетической энергии следующим образом:

Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех приложенных к системе сил, как заданных, так и реакций связей.

343. Важный частный случай, когда работа реакций связей равна нулю. Если связи не зависят от времени, т. е. если они, как в п. 176, выражаются уравнениями, в которых имеются только координаты точек системы, но не время, и если, кроме того, связи идеальные.

341. Пример. Приложим теорему кинетической энергии к движению двух свободных материальных точек с массами /пит (рис. 190), взаимно притягивающихся по закону Ньютона и притягиваемых по тому же закону неподвижным центром М с массой fi.

Движущаяся система состоит здесь из двух точек. Внутренними силами являются силы взаимного притяжения обеих точек. Если через г обозначить расстояние между ними, то алгебраическое значение силы взаимодействия

между m и т будет F = - а элементарная работа этой силы будет

F dr = - •" dr. Внешними силами являются силы притяжения Р и Я

точкой М, Если расстояния Mm и

Mm обозначить через р и р, то

алгебраические значения этих сил

притяжения, согласно принятому

в теории центральных сил условию,

/лт fu.m

равны-и ---Ц, а их эле-

Г f

ментарные работы будут-- dp



т. е. осуществляются без трения i), то сумма элементарных работ реакций связей на действительном перемещении, совершаемом системой за промежуток времени dt, равна нулю. В самом деле, при указанных условиях действительное перемещение системы будет, очевидно, допускаться связями и сумма работ реакций связей будет равна нулю (п. 162). Имеем, следовательно, теорему: Если связи не зависят от времени и отсутствует трение, то дифференциал кинетической анергии равен сумме элементарных работ заданных сил.

Может оказаться в рассматриваемом частном случае, что сумма элементарных работ заданных сил на действительном перемещении есть полный дифференциал некоторой функции U от координат точек системы. Тогда теорема кинетической энергии приводит к уравнениям:

d=dU,

из которых второе является интегралом энергии.

Примечание I. Для системы с полными связями (п. 168), не зависящими от времени и без трения, теорема кинетической энергии непосредственно дает единственное уравнение движения. В самом деле, положение системы зависит тогда только от одного параметра и по теореме кинетической энергии можно составить уравнение, в которое входят только заданные силы и которое позволяет вычислить единственный параметр в функиии времени t.

Примечание П. Если некоторые из связей зависят 2 от времени, то работа соответствующих реакций связей на действительном перемещении будет, вообще говоря, отлична от нуля. Простым примером этого является движение точки, которая скользит без трения по движущейся кривой. Работа реакции связи на действительном перемещении будет отлична от нуля (п. 258). о

344. Приложение. Однород- Рис. 191.

ная тяжелая цепь, скользящая

без трения по неподвижной кривой. Пусть 2/ -длина цепи АВ, р -масса единицы длины и, следовательно, 2/р - вся масса.

Примем за ось Ог (рис. 191) вертикаль, направленную вверх. Обозначим через s длину дуги неподвижной кривой, по которой скользит цепь, отсчи-


1) Под связями без трения здесь надо понимать связи, не оказывающие сопротивления движению, например не только гладкие, но и шероховатые поверхности, если по ним происходит качение без скольжения (см. т. 1, п. п. 162-164), (Прим. перев.)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037