Главная Промышленная автоматика.

Он представляет собою момент инерции шара радиуса 1 относителыно диаметральной плоскости и, следовательно, равен Р- Таким образом, имеем:

Эта величина может быть окончательно написана в виде

так как масса М эллипсоида 4

равна -д ярййс.

Точно так же моменты инерции эллипсоида относительно плоскостей хг и уг равны соответствен-

но Af- и М-. Вслед-

ствие этого моменты инерции относительно осей Ох. Оу, Ог суть


Ь"- + с"-

сз + й

а + Ь"-

и момент инерции относительно центра равен

Рис. 180.

Л2 4- Й2 j с2

3°. Момент инерции однородного тела враш,ения, ограниченного плоскостями двух параллелей, относительно его оси. Рассмотрим сначала случай кругового цилиндра высоты h и радиуса R. Так же как и в случае шара, если радиусу дать приращение dR, то момент инерции цилиндра относительно его оси получит приращение

d = R{2-r.Rhi)dR\

так как все точки цилиндрического слоя, на который увеличится тело, находятся на расстоянии R от оси и приращение массы равно l%Rh dR. Интегрируя последнее равенство, получим:

= 1 nRhb

что можно написать в виде

и следовательно, радиус инерции цилиндра равен R

Пусть теперь в общем случае г = =? (Jf) есть уравнение меридиана поверхности вращения вокруг оси О? (рис. 180). Разобьем тело плоскостями,



перпендикулярными к оси, на элементарные цилиндры. Момент инерции каждого такого цилиндра радиуса г и высоты dz равен, по предыдущему,

я/-4р dz,

и если 0 и z,-значения координаты z для крайних параллельных плоскостей, то для момента инерции всего тела получим выражение

МШ = Ц- J rdz, где г связано с z соотношением

z = f (г).

Таким образом, в рассматриваемом случае момент инерции вычисляется с помощью простого интеграла.

II. Общие теоремы

317. Изменение момента инерции системы относительно оси, перемещающейся параллельно самой себе. Это изменение определяется следующей теоремой:

Момент инерции системы относительно данной оси равен ее моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести системы, увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими осями.

Пусть АВ-произвольно заданная ось. Примем параллельную ось Cz, проходящую через центр тяжести, за ось z и пусть х = а, у = Ь - уравнения заданной оси АВ. Момент инерции относительно оси АВ равен

2пКх-а) + (у - ЬП что может быть написано в виде

Jm(x + y)-Jr(a + l>)1i>n - a1imx - 2bmy.

Но "тх и ту равны нулю, так как центр тяжести лежит на оси z; таким образом, для момента инерции относительно АВ остается выражение

т(х + у)~(а + Ь)т,

что и доказывает предложение, так как т(х-{-у) есть момент инерции относительно оси Cz, а a-f-ft есть квадрат расстояния между обеими осями. Следовательно, если У есть момент инерции относительно оси АВ, Jq - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести О, и d - расстояние между этими двумя осями, то J - Jg-\Md. Пусть J - момент инерции



относительно оси, имеющей то же направление, но находящейся на pat-стоянии d от центра тяжести. Тогда f = Jq -\- Md и, следовательно.

Эта формула позволяет вычислить У, если известны У и положение центра тяжести.

Из теоремы J=JG-\-Md вытекает, что из всех моментов инерции относительно осей, имеющих одинаковое направление, наименьший будет относительно той оси, которая проходит через центр тяжести. Все оси заданного направления, относительно которых момент инерции имеет одинаковое значение, образуют круговой цилиндр, ось которого проходит через центр тяжести.

Точно так же можно доказать, что:

Момент инерции системы относительно плоскости равен моменту инерции относительно параллельной плоскости, проходящей через центр тяжести, увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими плоскостями.

Момент инерции системы относительно точки О равен моменту инерции относительно центра тяжести G, увеличенному

на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими точками.

318. Изменение момента инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Эллипсоид инерции (Пуансо). Исследуем теперь изменение моментов инерции относительно различных осей, выходящих из точки О (рис. 181). Примем эту точку за начало координат и пусть а, f - направляющие косинусы некоторой прямой 03. Квадрат расстояния тр от точки с координатами л;, у, Z до этой прямой имеет значение От - Ор, т. е.

г2 =::г д;2 4- у2 22 - (ал; + р;» + 72)2,

что можно представить в виде

г2 = (х2 + у + 22) (а2 + р2 + f) - {ах + у + 72)2,

или в развернутом виде

г2 а2 (2 2) + р (22 4- х2) 4- f (д;2 -f- y2)2.yz- 2i<xzx -24ху, откуда для момента инерции получается значение 2тг = -2 2 m (3/2 4- 22) + р 2«(2 + + 2» + У-) -

- 27 2 ff-y - 27а mzx - 2ар 2 "ху.


Рис. 181.





0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0034