Главная Промышленная автоматика.

динамика системы

ГЛАВА XVII МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

313. Геометрия масс. Теория моментов инерции, теория центра тяжести *), а также теория притяжения заимствуют из механики только понятие массы. Вследствие этого некоторые авторы, в частности Карно (Carnot, Geometrie de position) и Шаль (Chasles, Apercu historique), предлагают относить эти теории к геометрии. Но в настоящее время эти теории относят к специальной главе механики, которую называют геометрией масс (см. Haton de la Goupilliere, Journal de IEcole Polytechnique, XXXVII cahier и Revue generale des Sciences pures et appliquees, 4-e annee, 1893, стр. 337).

Все теории, составляющие геометрию масс, имеют своим предметом исследование сумм вида tnf(x, у, г), распространенных на совокупности материальных точек с массами т и координатами х, у, г. Например, в теории центра тяжести встречаются суммы, которые получаются в предположении, что /(х, у, г) есть линейная функция координат, и которые приводятся к трем суммам 2 2 "З» 2

Теория моментов инерции, созданная Гюйгенсом, относится к суммам, получающимся в предположении, что /(х, у, г) является целой функцией второй степени относительно координат, и приводящимся

к щести суммам вида 2 "J*. 2 "J 2 2 fnyz, 2 fnx, 2 rnxy.

I. Определения и примеры

314. Определение моментов инерции. Так как в приложениях встречаются только моменты инерции относительно осей, то полезно ввести следующие определения. Если задана произвольная система материальных точек, то:

1°. Моментом инерции этой системы относительно плоскости называется сумма 2 " произведений массы т каждой отдельной точки на квадрат ее расстояния 8 от плоскости.

*) Автор всюду пользуется термином «центр тяжести> вместо центра инерции или центра масс. (Прим. перев.)



2°. Моментом инерции системы относительно оси называется сумма 2 " произведений массы т каждой отдельной точки на квй-драт ее расстояния г до оси. Этот момент обычно обозначают через Mh, где М - вся масса системы; k называют тогда радиусом инерции системы относительно оси.

3°. Моментом инерции относительно точки называется сумма произведений массы каждой точки на квадрат ее расстояния до точки.

Проведем через некоторую точку О три прямоугольные оси х, у, г. Тогда моменты инерции относительно трех координатных плоскостей равны 2 2 fly 2 "2; моменты инерции относительно осей

равны 2+ m{z-\-х), 2"(• +Л " момент инерции относительно точки О равен т{х-\-у-{-г).

Из написанных выражений получаются следующие теоремы:

а) Момент инерции относительно оси равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно-перпендикулярных плоскостей, проходящих через эту ось.

б) Момент инерции относительно точки равен сумме моментов инерции относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей, проходящих через эту точку, или сумме моментов инерции относительно плоскости и перпендикулярной к ней оси, проходящих через эту точку.

4°. Произведения инерции, или центробежные моменты инерции. Так называются суммы вида myz, mzx, тху, которые непосредственно приводятся к моментам инерции относительно плоскостей. В самом деле, проведем плоскости Р и Р, делящие пополам двугранные углы, образованные плоскостями zOx и zOy. Эти плоскости имеют уравнения х-\-у = 0 и х - з -0. Обозначим далее через S и 8 расстояния от точки массы т с координатами х, у, z до этих плоскостей. Тогда имеем:

b2:L{x-\-yy, b = l-(x-yf.

гпхуЦтЬ-тЬУ

В полученном соотношении оба члена правой части являются моментами инерции относительно плоскостей.

315. Сплошные системы. Для вычисления моментов инерции сплошного тела, например, какой-нибудь металлической массы, его предполагают разбитым на элементарные объемы dv, каждый из которых имеет координаты х, у, z п массу m = pdv, где р - плотность элементарного объема dv. Тогда суммы вида "тх или myz превратятся в тройные интегралы fjf pxdv или jJJ pyzdv, распространенные на рассматриваемый объем.



316. примеры. 1°. Моменты инерции однородного шара. Пусть р - плотность. Найдем сначала момент инерции ц шара относительно его центра. Этот момент является функцией радиуса R. Когда последний получает бесконечно малое приращение dR, тогда приращение di является моментом инерции шарового слоя массы AizRf dR относительно точки, находящейся на постоянном расстоянии R (рис. 179). Следовательно,

ф = (4я/?2р dR) Ri,

откуда, интегрируя в пределах от О до R, находим:

Момент инерции относительно диаметральной плоскости равен

1 4 „ 3 = Т5"Р

так как момент инерции относительно центра равен сумме моментов инерции относительно трех взаимно-перпендикулярных диаметральных плоскостей, а моменты инерции относительно всех диаметральных плоскостей одинаковы. Отсюда следует, что момент инерции относительно диаметра, равный сумме моментов инерции относительно двух взаимно-перпендикулярных диаметральных плоскостей, имеет значение

где АГ - -д- 7ср/?з

обозначает . всю

массу

шара. Следовательно, радиус инерции шара относительно диаметра равен

2°. Моменты инерции однородного эллипсоида. Пусть


£1 . У!

ai "1" *2

+ f-1=0

Рис. 179.

- уравнение эллипсоида. Его момент инерции относительно плоскости

будет

2 /И22 = J J J рг2 dx dy dz.

где p - плотность, a тройной интеграл распространен на объем эллипсоида. Если сделать замену переменных

X = ах, у = by, Z = cz,

то получим:

mz= аЬс» Jff fzdxdydz,

где новый тройной интеграл распространен уже на объем шара, ограниченного поверхностью

x + y + z-l = 0.

2 Зак. 922. П. Аппель, т. II





[0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0035