Главная Промышленная автоматика.

Разделив обе части на -Vnln и приняв за новую переменную l/t/n. получим

da t»» COS а ) COS о

= 0.

Для интегрирования этого линейного уравнения положим после чего получим

COS а

= 0.

Выберем q таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициент при р\ получим уравнение

dq па da

- = - nWada--,

q cos а

допускающее частный интеграл

In 9 = л In cos а - па In tg (у + •

9 = cos»a[tg(-2 +)J •

•При этом значении q нам останется для определения р проинтегрировать уравнение

dp nb

da q cos a

Естественное уравнение. Если функция ф известна, то легко найти естественное уравнение кривой. Действительно, мы нашли, что

- = jgcosa, Р

следовательно,

g COS а cos а

Случай интегрируемости Лежандра. Мы исследуем со всеми подробностями случай, когда, по предположению, сопротивление определяется формулой

<f{v) = a-\- ftt;»

где все три постоянные а, Ь, п положительны. Мы будем предполагать, что а меньше единицы, так как в противном случае, если тело отпустить без начальной скорости, его вес будет меньше силы сопротивления mga, и тело не будет падать.

Для рассматриваемого движения уравнение (3) примет вид

dv , a-\-bvn

--- = tg о Н--!-.

vda = cos о



qvn J

qv" J cos a

где постоянная С имеет значение --. в чем убеждаемся, положив а = oq.

Подставив сюда найденное выше значение для функции q, получим v в функции а. После этого найдем х, у, t по формулам (4) и (5).

Покажем, что если а убывает до -?У2, то время неограниченно увеличивается, и у становится бесконечным, но отрицательным, тогда как v п х оба имеют определенные пределы, так что кривая имеет вертикальную асимптоту на конечном расстоянии и движение стремится стать прямолинейным и равномерным.

В самом деле, выражение, определяющее величину -~ после умножения на q, может быть написано следующим Образом:

Когда а стремится к - у 9 стремится к нулю, так как а меньше 1; с другой стороны, интеграл в правой части обращается при этом в бесконечность. Так как член - стремится к нулю, то достаточно найти предел второго

члена правой части, который может быть написан в виде отношения

-пЬ (- J 9 cos а

принимающего вид -. Отношение производных по а равно

nbq da cos а dq

q da

или, заменяя - его вычисленным выше значением, получим

- sin а - а

Полагая, наконец, а = - , найдем, что 1 /t»" стремится к пределу , а V - к пределу

Интегрируя это уравнение в пределах от ао до а и обозначая через значение q при а = oq и через «о начальную скорость, получим



остается конечным, когда а стремится к - 7t/2. Действительно, так как v стремится к конечному пределу X, то подынтегральное выражение остается конечным и поэтому конечным будет х, который стремится к значению

«о

vi da.

С другой стороны, t становится бесконечным при а = - ~. Действительно,

g J со

g J COS a

и подынтегральное выражение обращается в бесконечность при а = -

и притом таким образом, что - [а ) стремится к определенному пре-

COS \ л J

делу X. Следовательно, этот интеграл ведет себя вблизи а = - , как

т. е. обращается в бесконечность. По той же причине выражение

У =-- / tJ3 tg а rfa

неограниченно возрастает, когда а стремится к - %j2. Таким образом, высказанные выше предложения установлены.

Найденной предел X для скорости, так же как и в случае прямолинейного нисходящего движения, является корнем уравнения

9(Х) = 1.

Примечание. Если в каком-нибудь определенном частном случае желательно выполнить квадратуры или по крайней мере приближенно вычислить значения v, х, у, t вблизи а = -, то проще всего положить

/ а , л \ rfa da 2и

« = tg(-f), = -. COSa= ,.

Переменная н, вначале положительная, равна 1 при а = 0 и стремится к нулю, когда а стремится к - it/2.

Интеграл, определяющий х [формула (5) ],





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038