Главная Промышленная автоматика.

Rce Ry

Ho так как предположено, что вектор R прямо противоположен V, то проекции R, и Ry пропорциональны производным и . Вследствие этого предыдущее соотношение принимает вид

dx dy dt- ~Ш ~dx~~~ rfy dt di

откуда, интегрируя, найдем

тела и к нему были приложены все действующие на снаряд внешние силы.

В случае, которым мы занимаемся, на центр тяжести действуют две силы: вес снаряда и сопротивление R среды, которое является равнодействующей поверхностных сил (давлений и трений), перенесенных параллельно им самим в центр тяжести. Эти поверхностные силы, взятые в совокупности, могут, вообще говоря, приводиться к результирующей силе R, приложенной в центре тяжести, и к паре. Если форма снаряда произвольна, то о направлении этой равнодействующей ничего не известно, и эта сила может вывести центр тяжести из вертикальной плоскости, в которой он выпущен в момент ==0. Но если снаряд является сферическим и он не вращается, то равнодействующая лежит в вертикальной плоскости, содержащей скорость центра тяжести G и вследствие симметрии траектория этой точки является плоской. Для возможно большего упрощения мы допустим, кроме того, что эта равнодействующая является силой R, направленной в сторону, противоположную скорости v центра тяжести. Сила R будет возрастающей функцией скорости v. Мы назовем эту силу R сопротивлением воздуха.

Если допустить, что сопротивление R лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр тяжести, то можно доказать аналитически, что траектория плоская. В самом деле, отнесем движение к трем прямоугольным осям Ох, Оу, Ог, причем ось Ог направлена вертикально вверх. Если через Rj., Ry, R обозначить проекции силы R, то уравнения движения будут:

dix п dy dz г,

m-=R, m- = Ry, m-j-Rg - mg.

Из первых двух выводим

d-x d-y dt- dt-



Потенцируя и снова интегрируя, получим

уСх + С.

Отсюда следует, что кривая является плоской и ее плоскость вертикальна. Это - плоскость горизонтальной проекции начальной скорости.

Примем эту плоскость за плоскость ху, начальное положение движущейся точки за начало координат, ось Оу направим вертикально вверх, а ось Ох по отношению к Оу направим в ту же сторону, в какую направлена начальная скорость.

Будем исходить из естественных уравнений движения. Обозначим через S дугу ОМ. траектории, через а - угол скорости v с осью Ох

и через р - радиус кривизны МС (рис. 141). Действующие на точку силы суть вес mg и сопротивление R. Их равнодействующая всегда расположена относительно касательной R со стороны отрицательных у. Но так как эта сила всегда направлена в сторону вогнутости, то траектория направлена вогнутостью в сторону отрицательных у. Следовательно, угол а будет все время уменьшаться. Его начальное значение равно известной величину Oq. В наивысшей точке траектории он обращается в нуль и далее продолжает уменьшаться. Мы увидим в дальнейшем, что его предельное значение равно -11/2.

Проектируя силы на касательную Mv, получим (п. 200)


Рис. 141.

mg sin а - R.

В этом уравнении R есть функция скорости, которую мы напишем так:

R =z mg(f (v).

Поэтому

-§- = -g[sina+cp(t>)]. (1)

Проектируя теперь на нормаль, получим

= mg cos а.

ds ds dt dt

P~ "rf""" dt da~ ""l



V da. cos а

Это - уравнение первого порядка. Отсюда находим v в функции а:

с;=:ф(а).

После этого из уравнения (2) получим

t = -(da. (4>

g J cos а

Можно выразить также х п у в функции а при помощи новых квадратур. В самом деле, имеем:

dx = V cos а dt, х =--~ / [(}j(a)pda,

§ J

dy- V sin а, dt, у ---- I [ф (а)] tg а da.

(5>

Таким образом, если удастся найти функцию ф(а), то задача приведется к простым квадратурам. Выражение

dt \ у da cos а

определяющее dt, показывает, что когда а больше, чем - -12, про-dt

изводная отрицательна и с уменьшением а время действительно

увеличивается. То же самое справедливо и для л:, так KaKdx=c;cosad. Что касается у, то он сначала увеличивается, пока а не достигает значения а = 0, после чего ~ меняет знак, у уменьшается и движущаяся точка опускается. Для нахождения значений х, у, t, соответствующих наивысшей точке, нужно в интегралах положить а = 0.

Годограф. Уравнение v~<>(a) является уравнением в полярных координатах годографа скорости точки, так как v есть радиус-вектор точки годографа, а а - угол, который он образует с осью Ох

Здесь нужно взять знак минус, так как с возрастанием 5 угол а убывает, а р есть абсолютное значение радиуса кривизны. Внося это значение в предыдущее уравнение, получим

- г> g COS а. (2)

Уравнения (1) и (2) позволяют найти t vi v ъ функции а. Исключим из них dt, деля их почленно друг на друга; получим уравнение

«=tga + . (3>





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [98] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037