Главная Промышленная автоматика.

получается -~ = ±i. Следовательно, эта прямая является директрисой параболы.

Установив это, допустим, что дана касательная к траектории в начале координат. Тогда фокус F будет находиться на такой прямой OF, что прямая Ovq будет биссектрисой угла FOD. Кроме того, он будет находиться на окружности радиуса 0D, описанной из точки О, как из центра. Следовательно, он находится на пересечении этой окружности с прямой OF. Построение показывает, что геометрическим местом фокусов парабол является окружность с центром в точке О радиуса 0D.

Поставим себе задачей найти угол, под которым нужно выпустить снаряд, чтобы попасть в заданную точку (х,, у,) плоскости. Введя обозначение tg а = а и подставив в уравнение траектории координаты х,, уу заданно}! точки Му, так как траектория должна пройти через эту точку, получим для определения и уравнение второй степени

yi = --(l-f a3) + „xj. (1)

Условием вещественности корней является выражение

угол а был равен 45°. Допустим, что требуется попасть в точку В оси Ох,

«о

абсцисса которой меньше, чем -. Наклон стрельбы определится формулой

sin 2с( = 4- ОВ. <

Отсюда видно, что имеются два решения, оба отличные от 45°. Следовательно, в точку В можно попасть по двум параболам. Легко убедиться, что по нижней параболе точка попадает в цель В за более короткий промежуток времени.

Можно определить геометрически положение параболы, соответствующей заданному углу а. Для этого заметим, что все параболы, которые получаются при изменении угла а, имеют общей директрисой прямую D с ординатой vg. в самом деле, параметр параболы, описываемой движущейся точкой,

cos а t»o sin а

равен р =--- и так как ордината вершины равна уо = -2g-

уравнение директрисы будет

, Р "о У = У + Т=2

Следовательно, это -прямая D, находящаяся на высоте, которую достигнет движущаяся точка, если ее бросить вертикально вверх со скоростью Vq. Этот результат становится наглядным, если исходить из уравнения (3)

кинетической энергии. Так как = + > это уравнение показы-

вает, что в мнимых точках пересечения траектории с прямой у -



Для его геометрического истолкования рассмотрим параболу, имеющую уравнение

- У -

Эта парабола имеет параметр vllg и вершину в точке л: = О, у = ,

т. е. в точке D; следовательно, ее фокус находится в начале координат. Условие вещественности (2) выражает, что точка должна быть внутри этой параболы («параболы безопасности») или на ней. Если точка Му находится внутри параболы безопасности, то уравнение для и имеет два различных вещественных корня и тогда в точку Му можно попасть двумя различными способами, выпуская снаряд под двумя различными углами (рис. 139). Если точка Му находится на параболе безопасности, то уравнение для и имеет двойной корень и тогда в точку Му можно попасть только одним способом. В случае, когда уравнение для и имеет два различных корня, имеются две траектории, проходящие через Му, соответствующие двум значениям и угла а. Время, затрачиваемое на достижение точки Му по обеим траекториям, равно соответственно

л:2 = 0.

Vq cos Oj

Более короткое время соответствует меньшему из углов и .

Парабола безопасности является огибающей траекторий, получающихся при изменении угла а, т. е. величины и. В самом деле, для нахождения огибающей кривых, представляемых уравнением (1), в котором и -переменный параметр, достаточно выразить, что это уравнение, рассматриваемое как уравнение относительно и, допускает двойной корень. Но это как раз то, что мы делали для нахождения параболы безопасности.

Эти результаты могут быть также легко получены и геометрически (рис. 140). Пусть нужно построить параболу, проходящую через две точки и имеющую заданное направление. Ее фокус, как мы видели, находится на окружности радиуса 0D с центром в точке О. Он должен также находиться на окружности с центром в точке Му, через которую должна проходить парабола, и радиусом, равным перпендикуляру МуР, опущенному из точки Му на директрису D. Эти две окружности могут пересечься в двух точках: F и F. Следовательно, могут быть две параболы. Чтобы эти окружности пересекались, необходимо, чтобы расстояние ОМу между центрами было меньше суммы и больше разности радиусов. Последнее условие, очевидно, выполняется, так как OMi > 0Q, а 0Q есть разность радиусов. Следовательно, достаточно написать

ОМу <0D + МуР.


Рис. 140.

Проведем прямую Д на расстоянии 2 0D от оси х и продолжим МуР до точки пересечения П с этой прямой. Тогда условие, которое должно выполняться, примет вид

MiP < MiH.



Для этих двух законов получатся два совершенно различных семейства кони-ческих сечений, но каждое из них содержит окружность у = УР - 2.

219. Криволинейное движение тяжелого тела в сопротивляющейся среде. Когда снаряд находится в движении, его центр тяжести движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса

Но геометрическое место точек, для которых МуО - МуП, является параболой с фокусом в начале координат и директрисой Д; это и будет парабола безопасности. Если точка Му находится внутри этой параболы, то в нее можно попасть двумя способами; если она находится на параболе, то имеется только одна траектория, проходящая через эту точку. Для такой точки Му фокус траектории и фокус параболы безопасности лежат на одной прямой с точкой Му. Элементарное построение, определяющее касательную в точке Ml, показывает, что эта касательная является одной и той же для обеих парабол. Отсюда вытекает, что парабола безопасности является огибающей всех траекторий.

218. Определение параллельной силы по заданной траектории. Мы исследовали задачу, заключавшуюся в том, что по заданной силе, параллельной оси Оу, нужно было найти движение, которое эта сила сообщала материальной точке. Можно задаться обратной задачей: зная плоское движение, при котором проекция точки на ось х движется по этой оси равномерно, найти закон сил, параллельных оси у, которые могут вызвать это движение.

Зададимся траекторией у = f{x), по которой движется точка под действием силы, параллельной оси Оу. По предположению, x=at-\-b и уравнение траектории определит у в функции t, если заменить в нем х его значением. Тогда получим

= «/W, . = а/"(дс).

Следовательно, закон силы будет такой:

Y=m = maf"ix).

Полученное выражение силы можно преобразовать при помощи уравнения траектории. Из этого уравнения можно, например, определить х в функции у и выразить силу через эту одну переменную, но можно также заменить часть значений х через у, а другую часть - через t или в общем виде закон изменения силы можно выразить так:

Y = ma2f"(x) + (x, у, , , ty - f(x)],

где Ч?" - произвольная функция. Эта сила действительно обращается в mcff (дс) на заданной траектории. Если, исходя из одного из этих законов для силы, определить вызванное ею движение, то при подходящем частном выборе начальных условий получится заданная траектория у = /(дс). Возьмем, например, окружность

у =y2 -л:2. Применяя вышесказанное, получим законы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036