Главная Промышленная автоматика.

= а, x - at-{-b.

т. е. проекция точки на ось Ох движется по этой оси равномерно. Постоянные а п b определяются из условия, что при t = ((, должно

быть X = Xq, (" = наиболее общем случае второе уравнение имеет вид

dt- - "\ У dt • dt

После замены х выражением at-\-b оно преобразуется в уравнение вида

идентичное с уравнением прямолинейного движения. Если его можно проинтегрировать, то задача будет рещеиа.

216. Естественные уравнения. В рассматриваемом случае естественные уравнения упрощаются. Возьмем прямоугольные оси. Пусть а -угол, образованный скоростью с осью Ох (рис. 138). Проектируя на нормаль.

условиях лго = О, «о = 1 обратятся в заданное движение х - sin t. Так, например, для первых четырех законов силы получатся следующие движения:

л: = sin / + а + С, (а)

л: = 51п(/ + с) + с, (р)

л: = с cos / -j- с sin t, (y)

a: = Ccos--+Csiny=:4-sin/. (8)

Bee эти движения при подходящем выборе постоянных С w С обращаются в лг = sin t.

111. Криволинейное движение. Тяжелая точка в пустоте и в сопротивляющейся среде. Электрическая частица

215. Силы постоянного направления. Допустим, что сила, действующая на материальную точку, все время параллельна некоторому фиксированному направлению. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, содержащей начальную скорость и направление силы. Этот результат можно считать очевидным из соображений симметрии (п. 202). Примем плоскость траектории за плоскость ху и направим ось Оу параллельно силе. Тогда уравнения движения будут

Первое из этих уравнений приводится к следующему



имеем

К cos =

Второе уравнение получится при проектировании на касательную. Однако

проще исходить из найденного выше свойства, что проекция

скорости


равна некоторой постоянной а, откуда V cos а - а.

Исключая скорость из обоих уравений, получим естественное уравнение траектории

Кр cos а = const.

Если, например, положить Y = const., то получится уравнение

р cosa = k,

являющееся естественным уравнением параболы.

217. Движение тяжелой точки в пустоте. За начало координат примем начальное положение точки, ось у направим вертикально вверх, а ось х - по горизонтали в плоскости траектории. Уравнения движения будут

Рис. 138.

= 0, т

rf2y Л2

- mg.

Обозначая через а угол, образованный начальной скоростью «о с осью Ох, получим из первого уравнения

= t»o cos а.

X = vt cos о.

Второе уравнение также интегрируется сразу и мы получаем

=-~ gt + Щ sin а,

у = - + t»o!! sin а.

Уравнения (1) и (Г) определяют скорость:

у = vl cos а + (t-o sin а - gtf = vl- 2gy.

(1) (2)

(!) (2)

Численное значение скорости в каждый момент времени получается таким, как если бы точка падала без начальной скорости из положения с ординатой fo/2. Формула (3) непосредственно вытекает из теоремы кинетической энергии.

Исключая t из равенств (2) и (2), получаем уравнение траектории

2t»oCOSa

-f Xtga.

Это - парабола с вертикальной осью, обращенная вогнутостью вниз (рис. 139).



Если угол а отрицательный, то, как видно из равенства (Г), -~ будет

все время отрицательным. Следовательно, у будет монотонно убывать, и движущаяся точка никогда не пройдет через верщину параболы.

Допустим теперь, что а > 0. Тогда , или, что то же, у, будет вначале положительным, и точка будет подниматься. Она будет подниматься


Рис. 139.

ДО тех пор, пока у не обратится в нуль, что произойдет по истечении промежутка времени /о> определяемого уравнением

t»o sin a

Так как при этом высота точки достигнет своего максимума, то ее скорость на основании равенства (3) будет иметь минимум. Координаты наивысшей точки 5 параболы - ее вершины - будут

дго = voto cos а =

vl sin 2a

По истечении промежутка времени to проекция у скорости станет отри -дательной и движущаяся точка начнет опускаться. На одной и той же высоте, как при движении вверх, так и при движении вниз, точка будет иметь одинаковую по абсолютному значению скорость. В частности, она пройдет через точку а, находящуюся на одной высоте с точкой О, со скоростью Vq. Горизонтальное расстояние oa равно удвоенной абсциссе Хо вершины:

0А = -

Isin 2а

Чтобы при заданной начальной скорости расстояние oa имело возможно большее значение, необходимо, чтобы sin 2я имел максимум, т. е. чтобы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [96] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041